Cho mặt phẳng (left (alpha right )), điểm A không thuộc mặt phẳng (left (alpha right )), H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (left (alpha right )), E là điểm thuộc AM sao cho: (frac{{ME}}{{MA}} = k.)
a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (left (alpha right )).
b. Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (left (alpha right )), từ đó suy ra khoảng cách từ I – trung điểm của AM đến mặt phẳng (left (alpha right )).
c. Gọi d là đường thẳng qua I song song với mặt phẳng (left (alpha right )). Lấy J thuộc d, tính khoảng cách từ J đến mặt phẳng (left (alpha right )).
d. Gọi C là chân đường vuông góc của J lên mặt phẳng (left (alpha right )). D là trung điểm của JC. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (left (alpha right )).
Hướng dẫn giải:
.png)
a) H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (left (alpha right )) nên: d(A,(left (alpha right ))) = AH = h.
b) Gọi P là chân đường vuông góc của E lên mặt phẳng (left (alpha right )).
Khi đó: d(E, (left (alpha right ))) = EP.
Ta có : EP // AH (đều vuông góc với mp (left (alpha right ))) và M, P, H thẳng hàng.
Theo định lí Tallet ta có:
(frac{{EP}}{{AH}} = frac{{ME}}{{MA}}=k)
Khi đó: EP = k.AH hay d(E, (a)) = k.h (1).
Vì I là trung điểm của AM nên:
(d(I,left( alpha right)) = frac{1}{2}.h) (áp dụng kết quả (1) với (k=frac{1}{2})).
c) Ta có: IJCQ là hình chữ nhật nên IQ=JC
Do đó: (d(J,left( alpha right)) = d(I,left( alpha right)) = frac{1}{2}.h.)
d) D là trung điểm của JC nên (frac{CD}{CJ}=frac{1}{2}.)
Suy ra: (d(Q,left( alpha right)) = frac{1}{2}d(J,left( alpha right)) = frac{1}{2}.frac{1}{2}.h = frac{1}{4}.h).
Ví dụ 2:
Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.
a. Chứng minh (SAB) (bot) (SBC) .
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
c. Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC).
Hướng dẫn giải:
a) Theo giả thiết ta có: (SA bot (ABC)).
Suy ra (SA bot BC) (1).
Mà (AB bot BC) (giả thiết) (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra: (BC bot (SAB)Rightarrow (SBC) bot (SAB).)
b) Ta có: ((SAB)cap (SBC)=SB).
Kẻ (AH bot SB (Hin SB).)
Do tam giác SAB vuông cân nên H là trung điểm của SB.
Khi đó: (AH bot (SBC)) nên (d(A, (SBC))=AH).
Xét tam giác SAB vuông cân tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
(frac{1}{{A{H^2}}} = frac{1}{{A{S^2}}} + frac{1}{{A{B^2}}} = frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{a^2}}} Rightarrow AH = frac{{asqrt 2 }}{2}.)
c) Ta có: (ABcap (SBC)=B) và (frac{BI}{BA}=frac{1}{2}) (do I là trùng điểm của AB) nên:
(d(I,(SBC)) = frac{1}{2}d(A,(SBC)) = frac{1}{2}.frac{{asqrt 2 }}{2} = frac{{asqrt 2 }}{4}.)
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = (asqrt2). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC.
Hướng dẫn giải:
Hướng dẫn giải:
Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).
Ta có (AOcap (SBC)=C) và (frac{CO}{CA}=frac{1}{2}), do đó:
d(A,(SBC)) = 2.d(O,(SBC)).
(SO bot (ABCD)) nên (SO bot BC)
Kẻ (SI bot BC) thì I là trung điểm của BC.
Suy ra: (BC bot (SOI)Rightarrow (SBC)bot (SOI))
((SBC)cap (SOI)=SI)
Kẻ (OI bot SI (Hin SI).) Khi đó (d(O,(SBC)) = OH)
Xét tam giác SOI vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
(frac{1}{{O{H^2}}} = frac{1}{{O{J^2}}} + frac{1}{{O{S^2}}}) mà (OJ = frac{1}{2}.a;,,SO = sqrt {S{C^2} – C{O^2}} = frac{{asqrt 6 }}{2})
Suy ra: (OH = frac{{sqrt {42} }}{{14}}a.)
Vậy: (d(AD,SC) = 2.frac{{sqrt {42} }}{{14}}a = frac{{sqrt {42} }}{7}.a.)