1. Hình thoi là gì?
1.1. Khái niệm:
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Hay nói cách khác hình thoi là hình bình hành có hai cặp cạnh kề bằng nhau hoặc có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Từ khái niệm trên có thể hiểu rằng, nếu hình thoi có bốn trong bằng nhau và đều vuông thì hình thoi đó được xác định là hình vuông, hay hình vuông là một trường hợp đặc biệt của hình thoi.
Lưu ý: Tất cả hình vuông đều là hình thoi (đặc biệt) nhưng không phải hình thoi nào cũng có thể là hình vuông.
1.2. Tính chất của hình thoi:
Hình thoi có một số tính chất sau đây:
Thứ nhất, Hình thoi có các tính chất tương tự như hình bình hành:
– Các cạnh đối nhau thi song song với nhau và bằng nhau
– Các góc đối nhau thì bằng nhau
– Hai đường chéo của hình thoi cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Thứ hai, Hình thoi có tổng các góc trong bằng 360 độ.
Thứ ba, Hình thoi có hai đường chéo không chỉ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà còn vuông góc với nhau.
Thứ tư, Hình thoi có hai đường chéo là đường phân giác của các góc trong hình thoi.
1.3. Dấu hiệu nhận biết của hình thoi:
Dấu hiệu nhận biết hình thoi từ một hình tứ giác bất kỳ
– Hình thoi là hình tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
– Hình thoi là hình tứ giác có hai đường chéo làm thành đường trung trực của hình thoi.
– Hình thoi là hình tứ giác có hai đường chéo làm thành đường phân giác cho cả bốn góc trong của hình đó.
Dấu hiệu nhận biết hình thoi từ hình bình hành.
Vì hình thoi là một trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên:
– Hình bình hành có hai cạnh bên bằng nhau thì là hình thoi.
– Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau thì là hình thoi.
– Hình bình hành có một đường chéo tạo thành đường phân giác của một góc trong thì là hình thoi.
Lưu ý: Với các dấu hiệu nhận biết trên, hình tứ giác bất kỳ hay hình bình hành chỉ cần có một dấu hiệu đã được coi là hình thoi.
2. Công thức tính chu vi của hình thoi:
Coi cạnh của hình thoi là a.
Công thức tính chu vi hình thoi: Muốn tính chu vi hình thoi, ta cộng độ dài bốn cạnh của hình thoi với nhau hoặc lấy độ dài một cạnh nhân với 4. Cụ thể công thức như sau:
Chu vi = a + a + a + a = a x 4
Ví dụ: Cho một hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng nhau và bằng 5 cm. Hỏi chu vi của hình thoi bằng bao nhiêu?
Áp dụng công thức tính chu vi hình thoi, có cạnh a = 5 cm.
Giải:
Chu vi của hình thoi ABCD là:
5 x 4 = 20 (cm)
Đáp số chu vi của hình thoi ABCD = 20 (cm)
3. Công thức tính diện tích của hình thoi:
Diện tích của hình thoi được tính bằng một nửa tích độ dài hai đường chéo của hình thoi đó. Đường chéo của hình thoi là đường thẳng nối các đỉnh đối diện của hình thoi với nhau. Cụ thể công thức như sau:
S = 1/2 x (d1 x d2)
Trong đó: S: là diện tích của hình thoi
d1: là độ dài của đường chéo thứ nhất
d2: là độ dài của đường chéo thứ hai
Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo lần lượt là 12 cm và 8 cm. Tình diện tích hình thoi ABCD?
Giải:
Diện tích của hình thoi ABCD là:
12 x 8 : 2 = 48 (cm²)
Đáp số diện tích của hình thoi ABCD = 48 (cm²)
Bên cạnh đấy, do các tính chất đặc biệt của hình thoi nên ngoài những công thức trên ta còn có một số công thức khác để tính diện tích hình thoi cụ thể như sau:
Thứ nhất, thực hiện công thức tính tương tự tính diện tích hình bình hành:
S = h x a
Trong đó: S: là diện tích của hình thoi
h: là độ dài chiều cao hình thoi
a: là độ dài một cạnh hình thoi
Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = BC = CD = DA = 10 (cm), chiều cao của hình thoi bằng 5 cm. Tính diện tích của hình thoi.
Giải:
Áp dụng công thức tính diện tích hình thoi có: h = 5 (cm), a = 10 (cm) ta được:
S = a x h = 10 x 5 = 50 (cm²)
Vậy diện tích của hình thoi ABCD = 50 (cm²)
Thứ hai, thực hiện tính diện tích hình thoi dựa vào hệ thức trong tam giác (được sử dụng khi biết được số đo góc của hình thoi). Cụ thể công thức tính như sau:
S = a² . sin A = a² . sin B = a² . sin C = a² . sin D
Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có cạnh hình thoi là 4 cm và góc A có số đo là 30°. Tính diện tích của hình thoi ABCD?.
Giải:
Diện tích của hình thoi ABCD là:
S = a² . sin A = 4² . sin30° = 16 . 1/2 = 8 (cm²)
Vậy diện tích của hình thoi ABCD = 8 cm².
Lưu ý:
Khi sử dụng các công thức trên để tính diện tích hình thoi, cần chú ý đến một số điều sau đây để tránh nhầm lẫn:
– Hình thoi đặc biệt mới là hình vuông chứ không phải là hình vuông nhưng hình thoi lại khá giống hình bình hành. Vì vậy không nên áp dụng công thức tính diện tích hình thoi vào hình vuông.
– Khi áp dụng công thức tính diện tích hình thoi, chu vi hình thoi hay đường chéo hình thoi thì cần chú ý đến các đơn vị của số đo để đồng nhất đơn vị.
– Trước khi làm bài nên đọc kỹ yêu cầu đề bài và quy đổi đơn vị số đo đồng nhất trước khi tính toán.
4. Tính đường chéo hình thoi:
Dựa vào các công thức tính chu vi hình thoi, diện tích hình thoi ở trên, chúng ta cũng có thể dễ dàng tìm được công thức tính đường chéo hình thoi như sau:
* Tính đường chéo hình thoi khi biết diện tích, độ dài 1 đường chéo:
Nếu đã biết diện tích hình thoi, độ dài đường chéo (d1), chúng ta sẽ dễ dàng tìm được 1 đường chéo còn lại của hình thoi theo công thức sau: d2 = 2S/ d1.
5. Các dạng bài tập phổ biến về hình thoi:
5.1. Dạng 1: Tính chu vi, diện tích hình thoi (cơ bản nhất – chủ yếu với học sinh tiểu học)
Bài 1: Tính diện tích của hình thoi biết độ dài hai đường chéo lần lượt là 16cm và 20cm.
Bài giải:
Diện tích của hình thoi là:
16 x 20 : 2 = 160 (cm2)
Đáp số: 160cm2
Bài 2: Hình thoi ABCD có độ dài đường chéo AC = 15cm, độ dài đường chéo BD bằng 2/3 độ dài đường chéo AC. Tính diện tích hình thoi ABCD.
Bài giải:
Độ dài đường chéo BD là:
15 : 3 x 2 = 10 (cm)
Diện tích hình thoi ABCD là:
15 x 10 : 2 = 75(cm2)
Đáp số: 75cm2
5.2. Dạng 2: Bài toán áp dụng thực tế (bài tập nâng cao cho học sinh tiểu học)
Bài 1: Một khu đất hình thoi có độ dài đường chéo thứ nhất là 72m, đường chéo thứ hai có độ dài bằng 2/3 độ dài đường chéo thứ nhất. Người ta trồng sắn trên khu đấy, mỗi mét vuông thu hoạch được 5kg sắn. Hỏi người ta thu hoạch được ở khu đất bao nhiêu ki-lô-gam sắn?
Bài giải:
Độ dài đường chéo thứ hai là:
72 : 3 x 2 = 48(m)
Diện tích của khu đất hình thoi là:
72 x 48 : 2 = 1728(m2)
Số sắn thu hoạch được trên khu đất là:
5 x 1728 = 8640(kg)
Đáp số: 8640 kg sắn
Bài 2: Người ta trồng rau trên một thửa ruộng hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo là 50m và đường chéo thứ nhất dài hơn đường chéo thứ hai 10m. Trên thửa ruộng đó người ta thu hoạch được 100kg rau. Hỏi trung bình mỗi mét vuông đất người ta thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam rau?
Bài giải:
Độ dài đường chéo thứ nhất là:
(50 + 10) : 2 = 30(m)
Độ dài đường chéo thứ hai là:
30 – 10 = 20 (m)
Diện tích thửa ruộng hình thoi là:
30 x 20 : 2 = 300(m2)
Trung bình mỗi mét vuông đất người ta thu hoạch được số ki-lô-gam rau là:
300 : 100 = 3(kg)
Đáp số: 3kg rau
5.3. Dạng 3: Chứng minh tứ giác là hình thoi (chủ yếu dành cho học sinh trung học cơ sở)
Cách 1: Chứng minh tứ giác có hai đường chéo là đường trung trực của nhau:
Ví dụ:
Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AM của ΔABC và lấy ME = MA. Chứng minh tư giác ABEC là hình thoi.
Theo bài ra, ta có:
ΔABC cân tại A có trung tuyến AM
=> AM đồng thời là đường trung trực của BC
=> Tứ giác ABEC là hình thoi do có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau. (đ.p.c.m)
Cách 2: chứng minh tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
Ví dụ:
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.
Xét tam giác ABD có E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD
=> EH là đường trung bình của tam giác
=> EH = 1/2 BD (1)
Chứng minh tương tự ta có: EF = 1/2 AC; FG = 1/2 BD; HG = 1/2 AC (2)
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)
Từ (1), (2) và (3), ta suy ra EH = EF = HG = GF
=> Tứ giác EFGH là hình thoi do có bốn cạnh bằng nhau. (đ.p.c.m)
Cách 3: chứng minh tứ giác là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc
Ví dụ: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác AOB; BOC; COD và DOA là đỉnh của một hình thoi.
Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA.
Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.
Xét ΔBMO và ΔDPO có:
Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 ( đối đỉnh ) và OB = OD (gt)
=> ΔBMO = ΔDPO (g. c. g)
=> OM = OP và các điểm M, O, P thẳng hàng (6)
Chứng minh tương tự: ON = OQ và N, O, P thẳng hàng (7)
Từ (6) và (7) Suy ra: Tứ giác MNPQ là hình bình hành do các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (8)
Mặt khác OM, ON là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên OM ⊥ ON. (9)
Từ (8) và (9) suy ra: MNPQ là hình thoi do là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. (đ.p.c.m)
Cách 4: chứng minh tứ giác là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
Ví dụ:
Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng: IMNK là hình thoi.
Theo giả thiết ta có: M là trung điểm của BE và I là trung điểm của DE
=> MI là đường trung bình của ΔBDE
=> MI // BD và MI = 1/2 BD
Chứng minh tương tự, ta có:
NK // BD và NK= 1/2 BD
Do có MI // NK và MI = NK nên tứ giác MINK là hình bình hành (4)
Chứng minh tương tự, ta có: IN là đường trung bình của ΔCDE
=> IN = 1/2 CE mà CE = BD (gt) => IN = IM (5)
Từ (4) và (5) => Tứ giác MINK là hình thoi do là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. (đ.p.c.m)