Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui trong hình bình hành
Tài liệu Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui trong hình bình hành Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8.
A. Phương pháp giải
– Áp dụng tính chất của hình bình hành: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
– Nếu hai hình bình hành có một đường chéo chung thì hai đường chéo còn lại đi qua trung điểm của đường chéo chung đó.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hình sau, trong đó ABCD là hình bình hành.
a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
b) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Giải
a) Từ giả thiết
Áp dụng tính chất về cạnh vào hình bình hành ABCD và tính chất góc so le của AD//BC ta được:
(trường hợp cạnh huyền, góc nhọn).
Suy ra AH = CK. (2)
Từ (1) và (2) ta có tứ giác AHCK có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.
b) Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành AHCK, ta được hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do O là trung điểm của HK theo giả thiết nên AC đi qua O, hay A, O, C là ba điểm thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt CD ở E. Tia phân giác của góc C cắt AB ở F. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AFCE là hình bình hành.
b) Các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy tại một điểm.
Giải
Áp dụng định nghĩa vào hình bình hành ABCD, ta được AB//DC, suy ra AF//EC. (1)
Áp dụng tính chất về góc, giả thiết vào hình bình hành ABCD và tính chất của các cặp góc so le, ta được:
(vì có cặp góc đồng vị bằng nhau). (2)
Từ (1) và (2) ta có tứ giác AFCE có các cạnh đối song song nên nó là hình bình hành.
b) Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình bình hành ABCD và AFCE ta được hai đường chéo còn lại của hai hình bình hành trên là BD, FE cùng đi qua trung điểm của đường chéo chung AC. Điều đó chứng tỏ rằng các đường thẳng AC, BD, FE đồng quy tại trung điểm của AC.
Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và DA. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác AMCN và BMDN là hình bình hành.
b) Ba đường thẳng AC, BD, MN đồng quy tại một điểm.
Giải
a) Áp dụng định nghĩa, tính chất về cạnh và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được:
Như vậy hai tứ giác AMCN, BMDN đều có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên chúng là các hình bình hành.
b) Hai hình bình hành AMCN, BMDN có MN là đường chéo chung. Gọi O là trung điểm của MN. Theo tính chất về đường chéo của hình bình hành thì hai đường chéo còn lại là AC và BD phải đi qua trung điểm của đường chéo chung MN.
Vậy ba đường thẳng AC, BD, MN đồng quy tại điểm O.
Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD. Lấy M, N, P, Q thứ tự trên các cạnh AB, BC, CD và DA sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác BNDQ, MNPQ là hình bình hành.
b) Bốn đường thẳng AC, BD, MP, NQ đồng quy tại một điểm.
Giải
a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được:
Tứ giác BNDQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.
Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được:
Kết hợp với tính chất về góc của hình bình hành ta có hai cặp tam giác bằng nhau là QAM với NCP và MBN với PDQ theo trường hợp (c -g- c).
Suy ra QM = NP, MN = PQ.
Điều này chứng tỏ tứ giác MNPQ có các cạnh đối bằng nhau nên nó là hình bình hành.
b) Hai hình bình hành ABCD, BNDQ có BD là đường chéo chung. Gọi O là trung điểm của BD theo tính chất về đường chéo của hình bình hành thì hai đường chéo còn lại là AC và NQ phải đi qua O, hay O là trung điểm của NQ.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành MNPQ ta được đường chéo MP phải đi qua trung điểm O của đường chéo NQ.
Vậy bốn đường thẳng AC, BD, MP và NQ đồng quy tại điểm O.
Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và G, H thứ tự là giao điểm của AF, DE và BF, CE. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác AECF và EHFG là hình bình hành.
b) Các đường thẳng AC, FE, GH đồng quy tại một điểm.
Giải
a) Áp dụng định nghĩa, tính chất về cạnh và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được:
Tứ giác AECF có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Chứng minh tương tự ta cũng được tứ giác EBFD là hình bình hành.
Áp dụng định nghĩa vào hai hình bình hành trên, ta có:
Điều này chứng tỏ tứ giác EHFG có các cặp cạnh đối song song. Vậy nó là hình bình hành.
b) Hai hình bình hành AECF, EHFG có chung đường chéo EF nên suy ra hai đường chéo còn lại GH và AC phải cắt nhau tại trung điểm của EF. Vậy các đường thẳng AC, FE, GH đồng quy tại trung điểm của EF.