Khái niệm 2 tam giác đồng dạng thuộc phạm vi kiến thức toán lớp 8. Dưới đây là tổng hợp nội dung về định nghĩa, tính chất, phương pháp chứng minh kèm với những ví dụ minh họa cụ thể cùng bài tập áp dụng chi tiết về hai tam giác đồng dạng. Hãy cùng muahangdambao.com theo dõi nhé!
Thế nào là 2 tam giác đồng dạng?
Khái niệm hai tam giác đồng dạng:
*Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường
Tam giác đồng dạng là:
- Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau thì đồng dạng. (cạnh-cạnh-cạnh).
Ví dụ minh họa:
- Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng. (góc-góc).
Ví dụ minh họa:
- Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng. (cạnh-góc-cạnh).
Ví dụ minh họa:
Tổng hợp các trường hợp đồng dạng của tam giác thường:
*Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
- Định lí 1 : Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
Ví dụ minh họa:
Định lí 2 : Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng. (hai cạnh góc vuông)
Ví dụ minh họa:
- Định lí 3: Nếu góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đồng dạng. (góc)
Giả thiết: △ABC và △A’B’C’, có góc A = góc A’ = 90० và góc B = góc B’
Kết luận: ⇾△ABC ~ △A’B’C’
Tính chất tam giác đồng dạng là gì?
Từ hai tam giác đồng dạng suy ra được:
- Tỉ số hai đường phân giác, hai đường cao, hai đường trung tuyến, hai bán kính nội tiếp và ngoại tiếp, hai chu vi tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
- Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng thì bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng
- Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức
Bài toán: Cho △ABC(AB<AC), AD là đường phân giác trong. Miền ngoài △ vẽ tia Cx sao cho góc BCx = góc BAD. Gọi I là giao điểm của Cx và AD. Chứng minh rằng:
a) △ADB∼△CDI
b) AD.AC=AB.AI
c) AD2 = AB.AC – BD.DC
Giải: Ta có hình vẽ:
- c) Có AD/CD=BD/BI; (∆ADB ~ ∆CDI )
=> AD.DI = BD.CD (2) Từ (1) và (2): => AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI) = AD.AD = AD2
- Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet và Hai đường thẳng song song
Bài toán: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE. Kẻ các đường cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh:
- a) △ADB∼△AEG
- b) AD.AE = AB.AG = AC.AF
- c) FG // BC
Giải: Ta có hình vẽ:
- a) Xét ∆ABD và ∆AEG, ta có :
BD⊥AC (BD là đường cao)
EG⊥AC (EG là đường cao)
Suy ra: BD // EG
Suy ra: △ADB∼△AEG
- b) Từ a) Suy ra AB/ AE = AD/ AG
⇒ AD.AE = AB.AG (1)
CM tương tự, ta được : AD.AE = AC.AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
AD.AE = AB.AG = AC.AF
- c) Xét tam giác ABC, ta có :
AB.AG = AC.AF (cmb) suy ra: AB/AF=AC/AG
Suy ra: FG // BC (định lí Talet đảo)
- Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau
Bài toán: Cho △ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:
- a) △HBE∼△HCE
- b) △HED∼△HBC và góc HDE = góc HAE
Giải: Ta có hình vẽ
a) Xét △HBE và △HCD, ta có :
góc BEH = góc CDH =90∘ (gt)
góc H1 = góc H2 (2 góc đối đỉnh)
Suy ra: △HBE∼△HCD (g – g)
Tổng hợp các phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng toán lớp 8
- Phương pháp 1: Hai tam giác được coi là đồng dạng nếu chúng có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và các góc tương ứng tỉ lệ.
- Phương pháp 2: Định lý Talet: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó vạch ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
- Phương pháp 3: CM các điều kiện cần và đủ để hai tam giác đồng dạng: Hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, hai góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng.
- Phương pháp 4: Chứng minh trường hợp 1 (cạnh-cạnh-cạnh): Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng.
- Phương pháp 5: Chứng minh trường hợp 2 (cạnh-góc-cạnh): Nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng.
Bài tập áp dụng tam giác đồng dạng toán 8
Chứng minh 2 tam giác đồng dạng.
Bài 1: Cho ΔABC cân tại A; BC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên AB; AC sao cho góc DME= góc B
- a) Chứng minh rằng: ΔBDM ∽ ΔCME
- b) Chứng minh: ΔMDE ∽ ΔDBM
- c) Chứng minh: BD.CE không đổi?
- a) Ta có góc DBM= góc ECM (do ΔABC cân tại A (1) ) và góc DBM = góc DCM(gt)
Mà góc DBM+ góc BMD +góc MDB =180
DME+ BMD+CME =180०
Suy ra góc MDB= góc CME (2)
Từ (1) và (2), suy ra: ΔBDM ∽ ΔCME (g – g).
- b) Vì ΔBDM ∽ ΔCME
Nên BD/CM=DM/ME và BM = CM (giả thiết)
BD/BM = DM/ME => ΔMDE ∽ ΔDBM.
- c) Vì ΔBDM ∽ ΔCME
BD/CM = BM/CE Suy ra: DB.CE=CM.BM
Mà BM=CM=BC/2= a ⇒ BD.CE = CM.BM = a2(không đổi)
Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB= 12,5 cm, DC = 28,5 cm, AB// DC, góc DAB = góc DBC; Tính độ dài đoạn thẳng DB.
Giải: ta có hình vẽ:
Bài 3: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. M, N lần lượt là trung điểm của BH và AH
chứng minh rằng:
a) ΔABM ∽ ΔCAN
b) AM ⊥ CN
Giải: ta có hình vẽ:
- a) Xét tam giác ABH và tam giác CAH có:
Góc BHA = góc AHC = 90
và Góc BAH = góc ACH ( cùng phụ với góc B)
⇒ΔABM ∽ ΔCAN (g.g)
⇒BH / AH = AB /CA => BM /AN = AB / CA
Lại có góc HBA = góc HAC ( cùng phụ với góc C)
Xét ΔABM và ΔCAN có:
BM / AN = AB/CA và góc HBA = góc HAC
=>ΔABM ∽ ΔCAN (c-g-c)
- b) Xét tam giác ABH có MN là đường trung bình nên MN//AB. Vậy MN ⊥ AC tại K.
Xét tam giác AMC có AH, MK lần lượt là các đường cao nên N là trực tâm. Vậy CN ⊥ AM
Trên đây là toàn bộ lý thuyết liên quan về 2 tam giác đồng dạng cùng những hình ảnh trực quan và một số bài tập bổ trợ về tam giác đồng dạng vô cùng dễ hiểu giúp học sinh và các vị phụ huynh hứng thú hơn với chuyên đề Hai tam giác đồng dạng toán lớp 8 nói riêng và bộ môn Toán học nói chung. Chúc các bạn có những giờ học vui vẻ và đạt hiệu quả cao.