Tính chất, dấu hiệu nhận biết và cách chứng minh đẳng thức 8. Quảng trường
Các khái niệm, tính chất cũng như cách nhận biết hình vuông và cách chứng minh hình vuông đã được các em học sinh ôn tập trong chương trình Toán 8, phân môn Hình học. Nhằm giúp các em học sinh nắm vững hơn phần Hình học 8 rất quan trọng này, trường ĐH KD & CN Hà Nội có chia sẻ bài viết dưới đây. Theo chúng tôi! Tại đây, chúng ta đã hệ thống hóa toàn bộ kiến thức cần nhớ và phương pháp chứng minh bình phương cực hay.
I. LÝ THUYẾT VỀ VUÔNG GÓC LÀ BỘ NHỚ.
1. Định nghĩa
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.
Tổng quát: ABCD là hình vuông 
Bình luận:
Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông.
Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.
2. Thuộc tính
Trong một hình vuông có:
- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Có 2 cặp cạnh đối song song.
- Có 4 cạnh bằng nhau.
- Có một đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn, tâm của cả hai đường tròn trùng nhau và là giao điểm của các đường chéo của hình vuông.
- Một đường chéo chia hình vuông thành hai diện tích bằng nhau.
- Giao điểm của các đường phân giác, trung tuyến và trực giao trùng nhau tại một điểm.
3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông
Một hình chữ nhật có hai cạnh kề nhau bằng nhau là một hình vuông.
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.
+ Hình chữ nhật có đường chéo là tia phân giác của một góc là hình vuông.
Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
II. CÁCH CUNG CẤP VUÔNG GÓC TỐT NHẤT
Để chứng minh tứ giác là hình vuông, có thể áp dụng một trong 3 cách sau:
1. Cách 1: Chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình thoi có 1 góc vuông
Phương pháp: Để chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu của hình thoi có một góc vuông ta làm như sau:
- Chứng minh rằng tứ giác là hình thoi.
- Chứng minh rằng tứ giác có một góc vuông.
Ví dụ: Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì? Tại sao?
Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)
AE = BK = CP = DQ (gt)
=> EB = KC = PD = QA
Xét ΔAEQ và ΔBKE, ta có:
AE = BK (gt)
A = B = 90 °
QA = EB (đã chứng minh ở trên)
=> AEQ = BKE (cgc)
=> EQ = EK
Chứng minh tương tự, ta có: EK = KP, KP = PQ
Suy ra: EK = KP = PQ = EQ => Tứ giác EKPQ là hình thoi. (Đầu tiên)
Ngược lại: AEQ = BKE
⇒ Góc AQE = BKE
Góc nào AQE + AEQ = 90 °
=> Góc BKE + AEQ = 90 °
Một lần nữa, Góc BKE + QEK + AEQ = 180 °
Suy ra: Góc QEK = 180 ° – Góc BKE – Góc AEQ = 180 ° – 90 ° = 90 ° (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EKPQ là hình vuông (Hình thoi có một góc vuông là Hình vuông. (Đpcm)
2. Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu của hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau.
Phương pháp: Để chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu của hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau ta làm như sau:
- Chứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật.
- Chứng minh rằng tứ giác có hai cạnh bên đồng dạng.
Ví dụ: Cho ABC là tam giác vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H, G kẻ các đường vuông góc với BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Tại sao?
Theo kết quả đầu ra, chúng ta có:
ΔABC vuông góc tại A => Góc B = C = 45 °
ΔBHE vuông tại H và có Góc B = 45 ° => BHE vuông góc tại H
=> HB = HE
ΔCGF là hình vuông tại G và có Góc C = 45 ° => CGF là hình vuông cân tại G
=> GC = GF
Trong đó BH = HG = GC (giả định)
=> HE = HG = GF
Lại có EH // GF (cùng vuông góc với BC) và EH = GF
=> Tứ giác HEFG là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối diện bằng nhau là hình bình hành).
Ngoài ra, góc EHG = 90 ° nên HEFG là hình chữ nhật, lại EH = HG (đã chứng minh ở trên).
Vậy HEFG là Hình vuông (Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là Hình vuông). (dmcm)
3. Cách 3: Chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu của hình chữ nhật có đường chéo là đường phân giác.
Phương pháp: Để chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu của hình chữ nhật có đường chéo là phân giác ta làm như sau:
- Chứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật.
- Chứng minh rằng đường chéo của tứ giác là tia phân giác của một góc.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D lên AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.
Xét tứ giác AMDN, ta có:
Góc MAN = 90 ° (giả định)
DM ⊥ AB (giả thiết) => góc AMD = 90 °
DN AC (giả định) => Góc AND = 90 °
Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông)
Một lần nữa, đường chéo AD là tia phân giác của A.
Vậy hình chữ nhật AMDN là hình vuông
III. BÀI TẬP CUNG CẤP VUÔNG GÓC
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD.
một. Chứng minh rằng các tứ giác APQD và PBCQ là các hình vuông
b. Gọi H là giao điểm của AQ và DP. Gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK là hình vuông
Bài 2: Cho hình chữ nhật MNRS có MN = 2MS. Gọi P và Q là trung điểm của MN; SR, tương ứng.
một. Chứng minh rằng các tứ giác MPQS và PNRQ là các hình vuông
b. Gọi H là giao điểm của MQ và SP. Gọi K là giao điểm của RP và NQ. Chứng minh rằng PHQK là hình vuông
bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10cm và AD = 5cm. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD.
một. Chứng minh rằng các tứ giác APQD và PBCQ là các hình vuông
b. Gọi H là giao điểm của AQ và DP. Gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK là hình vuông
Bài 4: Cho ABC là tam giác vuông tại A. Đường phân giác AD. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC.
một. Chứng minh rằng AMDN là một hình vuông
b. Gọi P đối xứng khoảng D qua M. Chứng minh rằng ADBP là hình thoi
c. NMPA là một hình bình hành
Bài 5: Cho tam giác EFK vuông tại E. Phân giác ED. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ D xuống EF, EK.
một. Chứng minh rằng EMDN là một hình vuông
b. Gọi P là đối xứng qua D qua M. Chứng minh rằng EDFP là hình thoi
c. NMPE là một hình bình hành
Bài 6: Cho ABC là tam giác vuông tại A. Đường phân giác AD. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC.
d. Chứng minh rằng AMDN là một hình vuông
e. Gọi P đối xứng khoảng D qua M. Tính độ dài DP đã cho AC = 10cm
f. NMPA là một hình bình hành
Bài 7: Cho hình thang vuông ABCD có góc A bằng góc D và 90. AB = 3cm, AD = 8cm. CD = 5cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Gọi K là hình chiếu của M trên CD. Chứng minh rằng MNDK là một hình vuông
Bài 8: Cho ABCD là hình thang vuông có góc A bằng góc D và 90. AB = 6cm, AD = 16cm. CD = 10cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Gọi K là hình chiếu của M trên CD. Chứng minh rằng MNDK là một hình vuông
Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh CD, DA sao cho AF = DE. Chứng minh rằng AE = BF. Và AE vuông góc với BF
Bài 10: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh CD, DA. Chứng minh rằng AE = BF. Và AE vuông góc với BF
Bài 11: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q theo thứ tự trên các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AM = BN = CP = DQ Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao ?
Bài 12: Cho ABC là một tam giác. Điểm M thuộc BC. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB và cắt AC tại D, Qua M kẻ đường thẳng song song với AC và cắt AB tại E
một. Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao
b. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình chữ nhật
Bài 13: Cho ABC là tam giác vuông tại A. Điểm M thuộc BC. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB và cắt AC tại D, Qua M kẻ đường thẳng song song với AC và cắt AB tại E
c. Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao
d. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông
Bài 14: Cho hình vuông tại A, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AB và N là điểm đối xứng với M qua I.
một. Các tứ giác ANMC và AMBN là hình gì? Tại sao ?
b. Cho AB = 4cm; AC = 6cm. Tính diện tích tứ giác AMBN
c. Nếu ABC là tam giác vuông thì AMBN là hình vuông
Bài 15: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA.
một. Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b. Các đường chéo AC và BD của tứ giác MNPQ phải có thêm điều kiện gì để là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông?
Bài 16: Cho DABC vuông tại A, AB = 5cm, AC = 12cm, trung tuyến AM.
một. Tính độ dài BC và AM.
b. Trên tia AM lấy điểm D đối xứng với A qua M. Chứng minh AD = BC. Tam giác vuông ABC phải có thêm điều kiện gì thì ABDC là hình vuông?
Như vậy các em vừa được ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về hình vuông về khái niệm, tính chất, dấu hiệu và cách chứng minh hình vuông lớp 8 rất hay. Hãy lưu lại để xem thêm bạn nhé! xem thêm Làm thế nào để chứng minh hình thang? tại liên kết này xin vui lòng!
Đăng bởi: Trường ĐH KD & CN Hà Nội
Chuyên mục: Kiến thức chung