Trong hình học phẳng, tứ giác nội tiếp là một chuyên đề rất quan trọng trong chương trình THCS và là dạng bài tập hình học thường gặp trong đề thi vào lớp 10. Vậy tứ giác nội tiếp là gì, tính chất, định lý, các dấu hiệu nhận biết và cách chứng minh tứ giác nội tiếp như nào? Hãy cùng Bigone.vn tìm hiểu những về chuyên đề tứ giác nội tiếp lớp 9 ngay trong bài viết dưới đây nhé.
1) Định nghĩa tứ giác nội tiếp
Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (Hay còn được gọi là tứ giác nội tiếp) và đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác, các đỉnh tứ giác được gọi là đồng viên. Tâm đường tròn được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp, còn bán kính đường tròn được gọi là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Ví dụ: Trong hình bên dưới, hình a) tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O vì có cả bốn đỉnh A, B, C, D đều nằm trên đường tròn tâm O. Trong hình b) tứ giác MNPE không phải là tứ giác nội tiếp vì có điểm E không nằm trên đường tròn tâm O.
2) Tính chất, định lý tứ giác nội tiếp
Một tứ giác nội tiếp đường tròn có các tính chất như sau:
– Thứ nhất: Mọi tam giác đều có một đường tròn ngoại tiếp nhưng không phải mọi tứ giác đều nội tiếp đường tròn.
– Thứ hai: Tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác nội tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tứ giác. Nói cách khác, tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định mà ta có thể xác định được thì điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
– Thứ ba: Nếu tứ giác nội tiếp có hai góc đối diện là góc vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của đường chéo nối liền hai đỉnh kia.
– Thứ tư: Nếu tứ giác nội tiếp có hai góc vuông cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh mà hai góc cùng nhìn vào cạnh đó.
Dấu hiệu 1: (Dựa vào định nghĩa đường tròn)
Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định là tứ giác nội tiếp. Đây là tứ giác hình thang cân, hình chữ nhật hoặc hình vuông nội tiếp được đường tròn.
Tức là chứng minh tồn tại một điểm O sao cho OA = OB = OC = OD.
Ví dụ: Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O.
Dấu hiệu 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180º là tứ giác nội tiếp
Định lí
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180º
Ví dụ: Tứ giác ABCD có: Góc A + góc C =180º nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O
Định lí đảo
Từ định lý tứ giác nội tiếp trên, ta suy ra được định lý đảo như sau: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180º thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Dấu hiệu 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp
Ví dụ: Tứ giác ABCD có góc ngoài D1 = góc B nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O.
Dấu hiệu 4: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên cùng một đường tròn.
Dấu hiệu 5: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc.
Ví dụ: Tứ giác ABCD có hai góc A1 và góc B1 cùng nhìn cạnh DC và góc A1 = góc B1 nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O.
4) Những cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn là dạng bài tập hình học thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Trong bài viết này Bigone sẽ mang tới cho các em học sinh 6 phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, đơn giản dễ hiểu phục vụ cho kì thi lên lớp 10 đạt hiệu quả cao.
Cách 1: Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó
Các bạn thấy rằng nếu cho trước một đường tròn tâm O, bán kính R thì bất kì điểm nào nằm trên đường tròn cũng cách đều tâm O một khoảng bằng R. Dựa vào đây để ta có một cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Cụ thể: Cho một điểm I cố định và tứ giác ABCD. Nếu các bạn chứng minh được 4 điểm A, B, C, D cách đều điểm I, tức là IA=IB=IC=ID thì điểm I chính là tâm đường tròn đi qua 4 điểm A,B, C, D. Hay nói cách khác tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I bán kính IA.
Cách 2: Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800
Cụ thể: Cho tứ giác ABCD. Nếu các bạn chứng minh được A^+C^=180º hoặc B^+D^=180º thì tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn.
Cách 3: Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau
Tức là: cho tứ giác ABCD, nếu các bạn chứng minh được rằng DACˆ và DBCˆ bằng nhau và cùng nhìn cạnh DC thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
Đây chỉ là một ví dụ cho trường hợp này, các bạn có thể vẽ hình ra và dựa vào 1 ví dụ này để chỉ ra các trường hợp khác nhé.
Cách 4: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn
Cho tam giác ABCD. Nếu các bạn chứng minh được A^+C^=B^+D^ thì tức giác ABC cũng nội tiếp trong một đường tròn. Đây có thể nói là một trường hợp đặc biệt của trường hợp 2.
Cách 5: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn
Tức là nếu cho tam giác ABCD và các bạn chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A mà bằng góc trong tại đỉnh C (tức là góc C của tứ giác đó) thì ABCD cũng nội tiếp đường tròn.
Cách 6: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Chú ý: Các bạn có thể chứng minh tứ giác ABCD là một trong những hình đặc biệt sau: Tứ giác ABCD là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.
Xem video hướng dẫn cách chứng minh Tứ Giác Nội Tiếp (Nguồn thầy Cường):
Trên đây là các dấu hiệu nhận biết và cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. Hy vọng với 6 cách đơn giản trên các bạn sẽ giải quyết được bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp. Hãy nghiên cứu thật kỹ những phương pháp này để lựa chọn và áp dụng phù hợp vào từng bài toán các bạn nhé!