Như chúng ta đã biết, để đo đạc một góc bất kỳ nào đó chúng ta thường sử dụng đơn vị độ để đo góc đó. Trong Toán học ta còn sử dụng một đơn vị nữa để đo cung và góc, đó là radian. Vậy đơn vị radian là gì? Cách đổi độ sang radian được làm như thế nào? 1 radian bằng bao nhiêu độ? Bài viết sau đây VOH Giáo Dục sẽ giới thiệu tới các em đơn vị radian và số đo bằng radian của một góc lượng giác hay một cung lượng giác, đồng thời chúng ta sẽ tìm hiểu về cách chuyển đổi đơn vị độ sang đơn vị radian và ngược lại.
1. Radian là gì?
Quan sát hình vẽ dưới đây:
Ta thấy rằng độ dài của các cung nhỏ, cụ thể là cung nhỏ có độ dài bằng 1 đơn vị, do đó độ dài của cung nhỏ bằng độ dài của bán kính đường tròn. Khi đó, ta nói cung nhỏ có số đo bằng 1 radian (hoặc viết là 1 rad) hay góc ở tâm có số đo bằng 1 rad.
Ký hiệu radian là: rad hoặc c.
Ví dụ: 1 radian được ký hiệu là 1 rad hoặc 1 c (thường bị nhầm thành “1°”).
Khái niệm tổng quát: Trên một đường tròn bất kỳ, cung mà có độ dài bằng độ dài bán kính của đường tròn đó thì được gọi là cung có số đo 1 rad.
2. Cách đổi độ sang radian và ngược lại đổi radian sang độ
Quan sát hình vẽ trên, ta có độ dài của cung nửa đường tròn bằng . Với R = 1, ta suy ra cung có số đo bằng rad hay góc bẹt có số đo bằng rad. Do góc có số đo bằng 180 độ, nên suy ra rad. Từ đó ta được: rad và 1 rad = .
Chú ý: Khi ta sử dụng đơn vị radian để viết số đo của một cung hay một góc nào đó, ta thường không viết kèm theo chữ rad sau số đo. Ví dụ, góc ta hiểu đó là góc rad.
Ta có bảng chuyển đổi thông dụng đơn vị độ sang đơn vị radian và ngược lại như sau:
Độ
30 độ
45 độ
60 độ
90 độ
120 độ
135 độ
150 độ
180 độ
Radian
Ví dụ 1. Em hãy chuyển đổi số đo của góc 55 độ sang đơn vị radian.
Lời giải
Chuyển đổi số đo của góc 55 độ sang đơn vị radian, ta có:
rad, nên ta suy ra rad.
Ví dụ 2. Em hãy chuyển đổi số đo của cung rad sang đơn vị độ.
Lời giải
Chuyển đổi số đo của cung rad sang đơn vị độ, ta có:
1 rad = , nên ta suy ra .
» Xem thêm: Cách đổi độ sang radian đơn giản, dễ hiểu
3. Độ dài của một cung tròn
Cho đường tròn có bán kính R, độ dài của cung nửa đường tròn bằng và số đo của cung nửa đường tròn bằng rad. Khi đó, cung có số đo rad của đường tròn bán kính R thì có độ dài là: l = R.
Chú ý: Khi một bài toán sử dụng phép tính độ dài của cung tròn với cung tròn có số đo bằng đơn vị độ, khi đó ta chuyển đổi đơn vị độ sang đơn vị radian rồi mới bắt đầu tính toán.
Ví dụ 3. Cho một đường tròn có độ dài bán kính bằng 16 cm. Em hãy tính độ dài của cung có số đo là rad trên đường tròn đó.
Lời giải
Ta có, cung có số đo rad của đường tròn bán kính 16 cm có độ dài là: l = 16 . = 2 (cm).
Ví dụ 4. Cho một đường tròn có độ dài bán kính bằng 27 cm. Em hãy tính độ dài của cung có số đo là 20 độ trên đường tròn đó.
Lời giải
Chuyển đổi số đo của góc 20 độ sang đơn vị radian, ta có:
rad, nên ta suy ra rad.
Khi đó, cung có số đo rad của đường tròn bán kính 27 cm có độ dài là: l = 27 . = 3 (cm).
4. Một số bài tập liên quan về đơn vị radian
Bài 1. Em hãy chuyển đổi số đo của mỗi góc dưới đây sang đơn vị radian
1) – 56 độ;
2) 42 độ;
3) 120 độ 54 phút;
4) – 75 độ 30 phút.
ĐÁP ÁN
1) Chuyển đổi số đo của góc – 56 độ sang đơn vị radian, ta có:
rad, nên ta suy ra rad.
2) Chuyển đổi số đo của góc 42 độ sang đơn vị radian, ta có:
rad, nên ta suy ra rad.
3) Chuyển đổi số đo của góc 120 độ 54 phút = 120,9 độ sang đơn vị radian, ta có:
rad, nên ta suy ra rad.
4) Chuyển đổi số đo của góc – 75 độ 30 phút = – 75,5 độ sang đơn vị radian, ta có:
rad, nên ta suy ra rad.
Bài 2. Em hãy chuyển đổi số đo của mỗi cung dưới đây sang đơn vị độ
1) rad;
2) rad;
3) rad;
4) – 1 rad.
ĐÁP ÁN
1) Chuyển đổi số đo của cung rad sang đơn vị độ, ta có:
1 rad = , nên ta suy ra .
2) Chuyển đổi số đo của cung rad sang đơn vị độ, ta có:
1 rad = , nên ta suy ra = 3 độ 12 phút.
3) Chuyển đổi số đo của cung rad sang đơn vị độ, ta có:
1 rad = , nên ta suy ra = 7 độ 30 phút.
4) Chuyển đổi số đo của cung – 1 rad sang đơn vị độ, ta có:
1 rad = , nên ta suy ra = – 57 độ 18 phút.
Bài 3. Cho một đường tròn có độ dài bán kính bằng 30 cm. Em hãy tính độ dài của cung có số đo là 120 độ trên đường tròn đó.
ĐÁP ÁN
Chuyển đổi số đo của góc 120 độ sang đơn vị radian, ta có:
rad, nên ta suy ra rad.
Khi đó, cung có số đo rad của đường tròn bán kính 30 cm có độ dài là: l = 30 . = 20 (cm).
Bài 4. Một nắp cống có viền dạng đường tròn có độ dài bán kính bằng 15 cm. Biết một cung tròn trên đường viền của nắp cống có độ dài bằng 3 cm. Em hãy tính số đo của cung tròn đó.
ĐÁP ÁN
Giả sử là số đo của cung tròn trên đường viền của nắp cống đã cho.
Áp dụng công thức tính độ dài của cung tròn ta có: l = R .
Khi đó ta suy ra = 0,2 (rad).
Vậy số đo của cung tròn trên đường viền của nắp cống đã cho là 0,2 rad.
Bài 5. Một cái đĩa có dạng hình tròn, trên viền đĩa ta biết một cung tròn có số đo bằng 12 độ và cung tròn đó có độ dài bằng 2 cm. Em hãy xác định bán kính của cái đĩa dạng hình tròn đó.
ĐÁP ÁN
Chuyển đổi số đo của góc 12 độ sang đơn vị radian, ta có:
rad, nên ta suy ra rad.
Áp dụng công thức tính độ dài của cung tròn ta có: l = R .
Khi đó ta suy ra (cm).
Vậy bán kính của cái đĩa dạng hình tròn đó bằng 9,5 cm.
Bài viết này đã giới thiệu tới các em về đơn vị radian và số đo bằng radian của một góc lượng giác hay một cung lượng giác, đồng thời bài viết đã nêu cách thức chuyển đổi đơn vị độ sang đơn vị radian và ngược lại. Hy vọng bài viết trên đã trang bị được những kiến thức cần thiết cho các em về chủ đề này.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang