Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước
A. Phương pháp giải
Bài toán: Cho phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0), biết phương trình có một nghiệm x 0, tìm các nghiệm còn lại của phương trình
Cách giải:
– Nếu x = x 0 là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 thì
ax3 + bx2 + cx + d = (x – x 0).f(x)
– Để tìm f(x) ta lấy đa thức ax3 + bx2 + cx + d chia cho (x – x 0).
– Giả sử f(x) = ax2 + Bx + C, khi đó phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích (x – x 0). (ax2 + Bx + C) = 0
Chú ý: để tìm f(x) ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hooc-ne sau
Khi đó: ax3 + bx2 + cx + d = (x – x 0).(ax2 + Bx + C)
Ví dụ 1: Tìm các nghiệm của phương trình x3 + x2 = 12 (1), biết x = 2 là một nghiệm của phương trình
Giải
Phương trình (1) ⇔ x3+x2-12 = 0
Vì x = 2 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (x3 + x2 – 12) chia cho
(x – 2). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:
Vậy x3 + x2 – 12 = (x – 2).( x2 + 3x + 6)
Xét phương trình: x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Xét phương trình: x2 + 3x + 6 = 0 có ∆ = 32 – 4.1.6 = -15 < 0 nên phương trình vô nghiệm
Vây phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (x – 2)(x2 + mx+ m2 – 3) = 0 (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt
Giải
Phương trình (1)
Phương trình (*) có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2
+ TH1: phương trình (**) có nghiệm kép khác 2 ⇔ phương trình (**) có
∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của (**)
+ TH2: phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2
Thay x = 2 vào phương trình (**) ta được:
Với m = -1 thì phương trình (**) trở thành: x2-x-2 = 0
Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm x = -1, x = 2
Suy ra m = -1 thỏa mãn
Vậy m = -1, m = 2, m = -2 là các giá trị cần tìm
B. Bài tập
Câu 1: Tính tổng các nghiệm của phương trình, biết x = -3 là một nghiệm của phương trình
Giải
Vì x = -3 là một nghiệm của phương trình nên ta lấy đa thức (2×3 + x2 – 13x + 6)chia cho (x + 3). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia
Vậy 2×3 + x2 – 13x + 6 = (x + 3).(2×2 – 5x + 2)
Xét phương trình x + 3 = 0 ⇔ x = -3
Xét phương trình 2×2 – 5x + 2 = 0 có ∆ = (-5)2 – 4.2.2 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 2, x = 1/2
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:
Đáp án là D
Câu 2: Tìm m để phương trình (x – 1)(x2 – 2(m + 1)x – 2) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt
Giải
Phương trình (1)
Phương trình (*) có 1 nghiệm x = 1 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác x = 1
Vậy với thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Đáp án là B
Câu 3: Tìm m để phương trình (2x – 1)(x2 – mx + 3m – 5) = 0 (1) có đúng 1 nghiệm
A. 1 < m < 8
B. 2 < m < 10
C. m = 4
D. m = 0
Giải
Phương trình (1)
Phương trình (*) có 1 nghiệm nên để phương trình (1) có đúng 1 nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
+ TH1: phương trình (**) có nghiệm kép
Thay vào phương trình (**) ta được:
+ TH2: phương trình (**) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
Vậy 2 < m < 10 là các giá trị cần tìm
Đáp án là B
Câu 4: Tìm m để phương trình (x + 1)(x2 + 2mx + 4) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3
A. m = 1
B. m = 6
C. Không tồn tại m
D. m = 0
Giải
Phương trình (1)
Phương trình (*) có 1 nghiệm x1 = -1 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -1
Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình (**) nên x2 + x3 = -2m
Tổng các nghiệm của phương trình (1) là: x1 + x2 + x3 = -1 – 2m = 3 ⇔ m = -2
m = -2 không thỏa mãn điều kiện nên loại
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài
Đáp án là C
Câu 5: Tìm m để phương trình (x + 2)(x2 – 2(m-1)x + m2 – 3m) = 0 (1) có 3 nghiệm phân biệt và tích các nghiệm bằng 4
A. m = 1
B. m = 1, m = 2
C. m = 2
D. m = 0
Giải
Phương trình (1)
Phương trình (*) có 1 nghiệm x1 = -2 nên để phương trình (1) có 3 nghiệm thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -2
Điều này xảy ra
Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình (**) nên x2. x3 = m2 – 3m
Tích các nghiệm của phương trình (1) là:
Vậy với m = 1, m = 2 thì phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đặt ra
Đáp án đúng là B
Câu 6: Biết rằng phương trình x3 – 4×2 + x + 6 = 0 được đưa về phương trình
(x -3)(x2 + Bx + C) = 0. Hãy tính B + C
A. -5
B. -4
C. -6
D. -3
Giải
Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 – 4×2 + x + 6 cho x – 3
Vậy x3 – 4×2 + x + 6 = (x – 3).(x2 – x – 2)
Suy ra phương trình x3 – 4×2 + x + 6 = 0 ⇔ (x – 3).(x2 – x – 2) = 0
Vậy B = -1 và C = -2 ⇒ B + C = -1 – 2 = -3
Đáp án D
Câu 7: Biết rằng phương trình x3 – 5×2 – 2x + 24 = 0 được đưa về phương trình (x – 4)(x2 + Bx + C) = 0. Hãy tính tích các nghiệm của phương trình x2 + Bx + C = 0 nếu có
A. -6
B. -7
C. -8
D. -9
Giải
Dùng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 – 5×2 – 2x + 24 cho x – 4
Vậy x3 – 5×2 – 2x + 24 = (x – 4).(x2 – x – 6)
Suy ra phương trình x2 + Bx + C = 0 là phương trình x2 – x – 6 = 0
Phương trình này có Δ = (-1)2 – 4.(-6) = 25 > 0 nên có hai nghiệm phân biệt
Theo Vi-et tích các nghiệm của phương trình là
Đáp án A
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Phương pháp giải phương trình trùng phương cực hay
- Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu hay, chi tiết
- Phương pháp giải phương trình đưa về dạng tích cực hay
- Cách giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay
Săn SALE shopee tháng 6-6:
- Unilever mua 1 tặng 1
- L’Oreal mua 1 tặng 3
- La Roche-Posay mua là có quà:
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án