A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Nâng lên lũy thừa
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ
- Bước 2: Biến đổi bằng cách nâng lên lũy thừa
- $sqrt{A}=B<=>A=B^{2}$
- $sqrt{A}=sqrt{B}<=>A=B$
- $sqrt{A}=sqrt{B}+sqrt{C}<=>A=B+C+2sqrt{B}sqrt{C}$ <=> $2sqrt{B}sqrt{C}=A-B-C$ <=> 4.B.C = (A – B – C)$^{2}$
- Bước 3: Đối chiếu với điều kiện, thử lại và kết luận.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a, $sqrt{x+2}=3x-4$
b, $sqrt{x-3}=sqrt{x^{2}-5x+6}$
c, $sqrt{x+2}+sqrt{x+7}=5$
Hướng dẫn:
a, $sqrt{x+2}=3x-4$
ĐKXĐ: $xgeq frac{4}{3}$
$sqrt{x+2}=3x-4$ <=> x + 2 = (3x – 4) $^{2}$ <=> 9$^{2}$ – 25x + 4 = 0
<=> (9x – 7)(x – 2) = 0 <=> 9x – 7 = 0 hoặc x – 2 = 0 <=> x = $frac{7}{9}$ hoặc x = 2
Kết hợp với điều kiện $xgeq frac{4}{3}$ => phương trình có nghiệm x = 2.
Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}
b, $sqrt{x-3}=sqrt{x^{2}-5x+6}$
ĐKXĐ: $xgeq 3$
$sqrt{x-3}=sqrt{x^{2}-5x+6}$ <=> x – 3 = x$^{2}$ – 5x + 6
<=> x$^{2}$ – 6x + 9 <=> (x – 3) $^{2}$ = 0 <=> x – 3 = 0 <=> x = 3
Kết hợp với điều kiện $xgeq 3$ => x = 3 là nghiệm của phương trình
Vậy tập nghiệm của phương trình S = {3}
c, $sqrt{x+2}+sqrt{x+7}=5$
ĐKXĐ: $xgeq -2$
$sqrt{x+2}+sqrt{x+7}=5$ <=> $(sqrt{x+2}+sqrt{x+7})^{2}=25$
<=> 2x + 9 + 2$sqrt{(x+2)(x+7)}$ = 25 <=> $sqrt{x^{2}+9x+14}$ = 8 – x
<=> $left{begin{matrix}x^{2}+9x+14=(8-x)^{2} && \ 8-xgeq 0 && end{matrix}right.$
<=> $left{begin{matrix}25x=50 && \ xleq 8 && end{matrix}right.$
<=> x = 2
Kết hợp với điều kiện $xgeq -2$ => x = 2 là nghiệm của phương trình
Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}
2. Nhân biểu thức liên hợp
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ.
- Bước 2: Nhẩm nghiệm (thường là nghiệm nguyên). Giả sử phương trình có nghiệm x = a
- Bước 3: Tách, thêm bớt rồi nhân liên hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung (x – a).
- Bước 4. Chứng minh biểu thức còn lại luôn âm hoặc dương
- Bước 5. Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: $3sqrt{x+1}+sqrt{x+2}=3x-2$
Hướng dẫn:
ĐKXĐ: $xgeq 2$
Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình, như vậy phương trình có thể phanan tích về dạng (x – 3).A(x) = 0. Ta tách và nhóm như sau:
$3sqrt{x+1}+sqrt{x+2}=3x-2$ <=> $3(sqrt{x+1}-2)+(sqrt{x+2}+1)=3x-9$
<=> $frac{3.(sqrt{x+1}-2)(sqrt{x+1}+2)}{sqrt{x}+2}+frac{(sqrt{x-2}-1)(sqrt{x-2}+1)}{sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$
<=> $3frac{(x+1)-4}{sqrt{x+1}+2}+frac{(x-2)-1}{sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$
<=> $3frac{x-3}{sqrt{x+1}+2}+frac{x-3}{sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$
<=> $(x-3).left ( frac{3}{sqrt{x+1}+2}+frac{1}{sqrt{x-2}+1}-3 right )=0$
<=> x – 3 = 0 (1) hoặc $left ( frac{3}{sqrt{x+1}+2}+frac{1}{sqrt{x-2}+1}-3 right )=0$ (2)
Với điều kiện $xgeq 2$ ta có $sqrt{x}+2>2$ và $sqrt{x-2}+1geq 1$, kéo theo
$left ( frac{3}{sqrt{x+1}+2}+frac{1}{sqrt{x-2}+1}-3 right )<frac{3}{2}+1-3<0$
Do đó phương trình (2) vô nghiệm.
Xét phương trình (1) x – 3 = 0 <=> x = 3
Kết hợp với điều kiện $xgeq 2$ => phương trình dã cho có nghiệm x = 3.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3}
3. Đưa về phương trình trị tuyệt đối
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ
- Bước 2: Khử căn thức đưa phương trình về phương trình trí tuyệt đối
- Bước 3: Xét dấu giá trị tuyệt đối để giải phương trình
$sqrt{f^{2}(x)}=g(x)$ <=> |f(x)| = g(x) <=> $left{begin{matrix}f(x)=g(x)(f(x)geq 0) & & \ f(x)=-g(x)(f(x)<0) & & end{matrix}right.$
Ví dụ 3: Giải phương trình: $sqrt{x^{2}-2x+1}=3x+2$
Hướng dẫn:
$sqrt{x^{2}-2x+1}=3x+2$ <=> $sqrt{(x-1)^{2}}=3x+2$ <=> |x – 1| = 3x + 2
Với $x – 1geq 0$ <=> $xgeq 1$, ta có:
x – 1 = 3x + 2 <=> x = $frac{-3}{2}$ (loại vì không thảo mãn $xgeq 1$)
Với x -1 < 0 <=> x < 1, ta có:
x – 1 = -3x -2 <=> x = $frac{-1}{4}$ (thỏa mãn x < 1)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {$frac{-1}{4}$}
4. Đặt ẩn phụ
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ.
- Bước 2: Đặt một (hoặc nhiều) biểu thức thích hợp làm ẩn mới, (thường là các biểu thức chứa căn thức) tìm điều kiện của ẩn mới.
- Bước 3: Biến đổi phương trình theo ẩn mới (Có thể biến đổi hoàn toàn thành ẩn mới hoặc để cả 2 ẩn cũ và mới) rồi giải phương trình theo ẩn mới.
- Bước 4: Thay trả lại ẩn cũ và tìm nghiệm, đối chiếu ĐKXĐ và kết luận.
Ví dụ 4: Giải phương trình sau: $x^{2}-2x+3sqrt{x^{2}-2x-3}=7$
Hướng dẫn:
ĐKXĐ: $x^{2}-2x-3geq 0$
$x^{2}-2x+3sqrt{x^{2}-2x-3}=7$ <=> $x^{2}-2x-3+3sqrt{x^{2}-2x-3}-4=0$
Đặt t = $sqrt{x^{2}-2x-3}$ (t $geq 0$), phương trình trở thành:
t$^{2}$ + 3t – 4 = 0 <=> (t + 4)(t – 1) = 0
<=> t + 4 = 0 hoặc t – 1 = 0 <=> t = – 4 (loại) hoặc t = 1 ™
+ Với t = 1 <=> $sqrt{x^{2}-2x-3}$ = 1 <=> $x^{2}-2x-3=1$
<=> x = $1-sqrt{5}$ hoặc x = $1+sqrt{5}$
Kiểm tra thấy hai nghiệm đều thỏa mãn.
Vật tập nghiệm của phương trình S = {$1-sqrt{5}$; $1+sqrt{5}$}
5. Đánh giá biểu thức dưới dấu căn
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ
- Bước 2: Đánh giá một vế lớn hơn hoặc bằng vế còn lại hoặc đánh giá cả hai vế.
+ Cách 1: Dùng hằng đẳng thức
Đưa 1 vế về dạng $A^{2}+B^{2}=0$
Phương trình có nghiệm <=> A = B = 0
+ Cách 2 : Sử dụng các BĐT để đánh giá.
BĐT cô-si: Với hai số a, b $geq 0$ thì ta có: a + b $geq 2sqrt{ab}$.
Dấu “=” xảy ra <=> a = b
BĐTB Bunhiakôpxki: Cho hai bộ số (a, b) và (x, y) thì ta có: $(ax+by)^{2}leq (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2}$
Dấu “=” xảy ra <=> $frac{a}{x}=frac{b}{y}$
…..
- Bước 3 : Xét dấu = xảy ra và đối chiếu tìm nghiệm của phương trình.
Ví dụ 5: Giải phương trình: $sqrt{3x^{2}+6x+7}+sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$ (1)
Hướng dẫn:
Ta có (1) <=> $sqrt{3(x^{2}+2x+1+frac{4}{3})}+sqrt{5(x^{2}+2x+1+frac{9}{5})}=-(x^{2}+2x+1)+5$
<=> $sqrt{3(x+1)^{2}+4}+sqrt{5(x+1)^{2}+9}=5-(x+1)^{2}$
Ta có Vế trái $geq sqrt{4}+sqrt{9}=2+3=5$. Dấu “=” xảy ra <=> x + 1 = 0 <=> x = -1
Vế phải $leq 5$. Dấu “=” xảy ra <=> x + 1 = 0 <=> x = -1
Suy ra hai vế của phương trình đều bằng 2 <=> x = -1
Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-1}