Số lần xuất hiện cực trị của hàm số trong đề thi trung học phổ thông quốc gia là khá nhiều. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn tìm cực trị của hàm số một cách chi tiết với các bước, kèm với nó là ví dụ minh họa có lời giải để bạn tiện theo dõi
Để tìm cực trị ta có 2 cách đó là dùng bảng biến thiên và biện luận đạo hàm cấp 2. Mời bạn cùng theo dõi
Cách tìm cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là K.
Cách 1:
Lưu ý: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
- Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.
- Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương (+) sang âm (-) thì đó là điểm cực đại của hàm số.
Cách 2:
Lưu ý:
- Tại điểm xi cho giá trị f″(xi) < 0 thì điểm đó là cực đại của hàm số.
- Tại điểm xi cho giá trị f″(xi) > 0 thì điểm đó là cực tiểu của hàm số.
Bài tập cực trị của hàm số có giải chi tiết
Bài tập 1. (Trích câu 4 đề thi minh họa 2021 của BGD&ĐT) Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Điềm cực đại của hàm số đã cho là:
A.$x=-3$.
B.$x=1$.
C.$x=2$.
D.$x=-2$.
Hướng dẫn giải
Chọn câu D
Vì ${f}'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi hàm số qua $x=-2$ nên ${{x}_{CD}}=-2.$
Bài tập 2.Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0.
B.Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại x = 0.
C.Hàm số đạt cực đại tại x = – 2 và cực tiểu tại x = 0.
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0và cực tiểu tại x = – 2.
Hướng dẫn giải
Chọn B
$y’ = 3{x^2} – 6x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = 2 end{array} right.$
Lập bảng biến thiên ta được hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ và đạt cực tiểu tại $x = 0$
Bài tập 3. (Trích câu 5 đề thi minh họa 2021 của BGD&ĐT). Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm ${{f}^{prime }}(x)$ như sau: Hàm số $f(x)$ có bao nhiêu điềm cực trị?
A.4.
B.1.
C.2.
D.3.
Hướng dẫn giải
Chọn câu A
Ta thấy ${f}'(x)$ đổi dấu khi qua cả bốn số $x=-2,x=1,x=3,x=5$ nên chúng đều là các điểm cực trị của hàm số $f(x).$
Bài tập 4. Cho hàm số $y = {x^4} – 2{x^2} + 3$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có ba điểm cực trị.
B. Hàm số chỉ có đúng 2 điểm cực trị.
C. Hàm số không có cực trị.
D. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị.
Hướng dẫn giải
Chọn A
$y’ = 4{x^3} – 4x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = 1\ x = – 1 end{array} right.$
$y(0) = 3;{text{ }}y(1) = y( – 1) = 2$ nên hàm số có hai cực trị.
Bài tập 5. Cho hàm số $y = {x^3} + 17{x^2} – 24x + 8$ . Kết luận nào sau đây là đúng?
A. ${x_{CD}} = 1.$
B. ${x_{CD}} = frac{2}{3}.$
C. ${x_{CD}} = – 3.$
D. ${x_{CD}} = – 12.$
Hướng dẫn giải
Chọn D
$y’ = 3{x^2} + 34x – 24 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – 12\ x = frac{2}{3} end{array} right.$
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = – 12$ .
Bài tập 6. Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại $x = frac{3}{2}$ ?
A. $y = frac{1}{2}{x^4} – {x^3} + {x^2} – 3x.$
B. $y = sqrt { – {x^2} + 3x – 2} .$
C. $y = sqrt {4{x^2} – 12x – 8} .$
D. $y = frac{{x – 1}}{{x + 2}}.$
Hướng dẫn giải
Chọn B
Hàm số $y = sqrt { – {x^2} + 3x – 2} $ có $y’ = frac{{ – 2x + 3}}{{2sqrt { – {x^2} + 3x – 2} }}$ và $y’$ đổi dấu từ “+” sang “-” khi $x$ chạy qua
$frac{3}{2}$ nên hàm số đạt cực đại tại .
Dùng casio kiểm tra: $left{ begin{array}{l} y’left( {frac{3}{2}} right) = 0\ y”left( {frac{3}{2}} right) < 0 end{array} right.$ thì hàm số đạt cực đại tại 1,5 .
Bài tập 7. Cho hàm số $y = {x^7} – {x^5}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng
A. Hàm số có đúng 1 điểm cực trị.
B. Hàm số có đúng 3 điểm cực trị .
C. Hàm số có đúng hai điểm cực trị.
D. Hàm số có đúng 4 điểm cực trị.
Hướng dẫn giải
Chọn C
$y’ = 7{x^6} – 5{x^4} = {x^4}(7{x^2} – 5) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 0\ x = pm sqrt {frac{5}{7}} end{array} right.$ .
$y’$ chỉ đổi dấu khi $x$ chạy qua $ pm sqrt {frac{5}{7}} $ nên hàm số có hai điểm cực trị.
Bài tập 8. (Trích câu 39 đề thi minh họa 2021 của BGD&ĐT). Cho hàm số $f(x)$, đồ thị của hàm số $y={{f}^{prime }}(x)$ là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=f(2x)-4x$ trên đoạn $left[ -frac{3}{2};2 right]$ bằng
A.$f(0)$.
B.$f(-3)+6$.
C.$f(2)-4$.
D.$f(4)-8$.
Hướng dẫn giải
Chọn câu C
Đặt $2x=t$ thì $tin [-3;4]$ và ta đưa về xét $h(t)=f(t)-2t.$ Ta có ${h}'(t)={f}'(t)-2$ nên dựa vào đồ thị đã cho thì ${h}'(t)=0$ có hai nghiệm $t=0,t=2,$ trong đó ${f}'(t)-2$ lại không đổi dấu khi qua $t=0,$ còn ${h}'(t)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $t=2$
Lập bảng biến thiên cho$h(t)$ trên $[-3;4],$ ta có $max h(t)=h(2)=f(2)-4.$
Bài tập 9. (Trích câu 46 đề thi minh họa 2021 của BGD&ĐT). Cho $f(x)$ là hàm số bậc bốn thỏa mãn $f(0)=0$. Hàm số ${{f}^{prime }}(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số $g(x)=left| fleft( {{x}^{3}} right)-3x right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A.3.
B.5.
C.4.
D.2.
Hướng dẫn giải
Chọn câu A
Ta có ${f}'(x)$ bậc ba có $2$ điểm cực trị là $x=-3,x=-1$ nên ${{f}’}'(x)=a(x+3)(x+1).$
Suy ra ${f}'(x)=a(frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x)+b$.
Từ $f(-3)=-1$ và $f(-1)=-frac{61}{3},$ giải ra $a=frac{29}{2},b=-1$
hay ${f}'(x)=frac{29}{2}(frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x)-1.$
Do đó ${f}'(0)=-1<0$
Đặt $h(x)=f({{x}^{3}})-3x$ thì ${h}'(x)=3{{x}^{2}}{f}'({{x}^{3}})-3$ nên ${h}'(x)=0Leftrightarrow {f}'({{x}^{3}})=frac{1}{{{x}^{2}}}.$$(*)$
Trên $(-infty ;0)$ thì ${f}'(x)<0$ nên ${f}'({{x}^{3}})<0,forall x<0$,kéo theo $(*)$ vô nghiệm trên $(-infty ;0].$
Xét $x>0$ thì ${f}'(x)$ đồng biến còn $frac{1}{{{x}^{2}}}$ nghịch biến nên $(*)$ có không quá $1$ nghiệm.
Lại có $underset{xto {{0}^{+}}}{mathop{lim }},({f}'({{x}^{3}})-frac{1}{{{x}^{2}}})=-infty $ và $underset{xto +infty }{mathop{lim }},({f}'({{x}^{3}})-frac{1}{{{x}^{2}}})=+infty $ nên $(*)$ có đúng nghiệm $x=c>0.$
Xét bảng biến thiên của $h(x)$:
Vì $h(0)=f(0)=0$ nên $h(c)<0$ và phương trình $h(x)=0$ có hai nghiệm thực phân biệt,khác $c.$
Từ đó $left| h(x) right|$ sẽ có $3$ điểm cực trị
Hy vọng qua bài viết này bạn đã biết cách tìm cực đại của hàm số hay cực tiểu của hàm số. Mọi thắc mắc hay để lại bình luận bên dưới để toanhoc.org giải đáp. Đừng quên quay lại trang Toán Học để đón xem những bài tiếp theo nhé!