Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay
A. Phương pháp giải
Dạng 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b (với b là số đã biết) từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.
Dạng 2: Các biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
Phương pháp: Sử dụng tính chất
Với mọi x, y ∈ Q, ta có
|x + y| ≤ |x| + |y|
|x – y| ≥ |x| – |y|
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 1001| + 1
Lời giải:
A = |x + 1001| + 1
Vì |x + 1001| ≥ 0 ∀ x
Suy ra |x + 1001| + 1 ≥ 0 + 1 ∀ x
Do đó A ≥ 1 ∀ x
Vậy GTNN của A là , khi |x + 1001| = 0, nghĩa là x = -1001.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất B = 5 – |5x + 3|
Lời giải:
B = 5 – |5x + 3|
Vì |5x + 3| ≥ 0 ∀ x
⇒ -|5x + 3| ≤ 0 ∀ x
⇒ -|5x + 3| + 5 ≤ 5 ∀ x
⇒ 5 – |5x + 3| ≤ 5 ∀ x
Suy ra B ≤ 5 ∀ x
Vậy GTLN của B là 5, khi |5x + 3| = 0, nghĩa là 5x + 3 = 0 ⇒ x =
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C = |x – 1| + |x – 2019|
Lời giải:
C = |x – 1| + |x – 2019|
= |x – 1| + |-(x – 2019)| (vì |a| = |-a|)
= |x – 1| + |2019 – x|
Vì |x – 1| + |2019 – x| ≥ |x – 1 + 2019 – x| (theo tính chất ở phần lý thuyết)
Mà |x – 1 + 2019 – x| = |2019 – 1| = |2018| = 2018
Suy ra C ≥ 2018
Vậy GTNN của C là 2018
Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức D = |x + 5000| – |x – 3000|
Lời giải:
D = |x + 5000| – |x – 3000| ≤ |x + 5000 – (x – 3000)| (áp dụng tính chất ở phần lý thuyết)
Vì | x + 5000 – (x – 3000)| = | x + 5000 – x + 3000| = |8000| = 8000
Suy ra D ≤ 8000
Vậy GTLN của D là 8000.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức A = -2 – |1,4 – x|
A. – 2
B. -3,4
C. 2
D. -1
Lời giải:
A = -2 – |1,4 – x|
Vì |1,4 – x| ≥ 0 ∀ x ⇒ -|1,4 – x| ≤ 0 ∀ x
⇒ – 2 -|1,4 – x| ≤ – 2 – 0 = -2 ∀ x
Do đó A ≤ – 2 ∀ x
Dấu “=” xảy ra khi 1,4 – x = 0 ⇒ x = 1,4
Vậy giá trị lớn nhất của A là -2, khi x = 1,4.
Đáp án A
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = |x – 5| + 10 là
A. 5
B. 0
C. 10
D. 15
Lời giải:
Vì |x – 5| ≥ 0 ∀ x ⇒ |x – 5| + 10 ≥ 0 + 10 = 10 ∀ x
Suy ra H ≥ 10 ∀ x
Dấu “=” xảy ra khi x – 5 = 0 hay x = 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của H là 10 khi x = 5.
Đáp án C
Câu 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức là
Lời giải:
Vì |x – 2| ≥ 0 ∀ x ⇒ |x – 2| + 3 ≥ 0 + 3 = 3 ∀ x
(lấy 1 chia cả hai vế, bất đẳng thức đổi dấu)
Suy ra
Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0, hay x = 2
Vậy giá trị lớn nhất của N là khi x = 2.
Đáp án B
Câu 4. Biểu thức K = 2|3x – 1| – 4 đạt giá trị nhỏ nhất khi
Lời giải:
Vì |3x – 1| ≥ 0 ∀ x
⇒ 2|3x – 1| ≥ 2.0 = 0 ∀ x
⇒ 2|3x – 1| – 4 ≥ 0 – 4 = -4 ∀ x
Do đó K ≥ – 4 ∀ x
Dấu “=” xảy ra khi 3x – 1 = 0 ⇒ 3x = 1 ⇒ x = .
Vậy K đạt giá trị nhỏ nhất khi x = .
Đáp án C
Câu 5. Tìm giá trị của x và y để biểu thức có giá trị lớn nhất.
Lời giải:
Đáp án B
Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = |x + 5| + |x – 1| + 4
A. 0
B. 4
C. 5
D. 10
Lời giải:
Ta có: |x – 1| = |-(x – 1)| = | 1 – x| (vì |a| = |-a|)
Khi đó N = |x + 5| + |1 – x| + 4
Vì |x + 5| + |1 – x| ≥ |x + 5 + 1 – x| = |6| = 6
Do đó N = |x + 5| + |x – 1| + 4 ≥ 6 + 4 = 10
Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 10
Đáp án D
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Cách tìm cơ số, số mũ của lũy thừa của một số hữu tỉ cực hay, chi tiết
- Cách tìm chữ số tận cùng của lũy thừa cực hay, chi tiết
- Cách so sánh hai lũy thừa cực hay, chi tiết
- Cách tính biểu thức có lũy thừa cực hay, chi tiết
- Cách lập tỉ lệ thức từ các số đã cho cực hay, chi tiết
Đã có lời giải bài tập lớp 7 sách mới:
- (mới) Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
- (mới) Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
- (mới) Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều
Săn SALE shopee tháng 6-6:
- Unilever mua 1 tặng 1
- L’Oreal mua 1 tặng 3
- La Roche-Posay mua là có quà: