Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức là dạng bài khiến nhiều bạn gặp khó khăn.
Bài viết sau đây sẽ trình bày ngắn gọn, dễ hiểu tất cả các cách giúp bạn tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Toán 9.
Hãy cùng học nào!
Xem thêm: Ôn thi Toán vào lớp 10
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho biểu thức f(x),
a) Nếu với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định của f(x) mà
với m là hằng số và tồn tại x = a sao cho f(a) = m
thì ta nói m là giá trị lớn nhất (GTLN).
Kí hiệu: Max f = m.
b) Nếu với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định của f(x) mà
với n là hằng số và tồn tại x = a sao cho f(a) = n
thì ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN).
Kí hiệu: Min f = n.
Như vậy, cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) chính là chỉ ra:
f(x) ≤ m và chỉ rõ dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi nào, ví dụ tại x = a.
Cách tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) chính là chứng minh:
f(x) ≥ n và chỉ rõ dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi nào, chẳng hạn khi x = a.
Sau đó kết luận: Max f = m khi và chỉ khi x = a.
Hoặc Min f = n khi và chỉ khi x = a.
Vậy dựa vào đâu để chứng minh và tìm được hằng số m, n nói trên?
1) Tìm hằng số m, n dựa vào bình phương của một số, bình phương của một tổng
A² ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A = 0.
A² + m ≥ m, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A = 0.
− A² + m ≤ m, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A = 0.
2) Tìm hằng số m, n dựa vào bất đẳng thức Cauchy (Cô-si):
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
- Với a, b > 0, nếu tích ab = k (k là số dương) thì Min (a+b) = 2√k khi và chỉ khi a = b.
- Với a, b > 0, nếu tổng a + b = k (k là số dương) thì Max (a.b) = k²/4 khi và chỉ khi a = b.
Chú ý.
Các ví dụ về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 5x² − 20x + 30
Giải:
Ta thấy rằng có thể đưa biểu thức P về bình phương của một hiệu rồi vận dụng tính chất A² ≥ 0.
Ta cần tách 5 ra để hệ số trước x² bằng 1 và tạo ra hằng đẳng thức bình phương của một hiệu.
Ta có:
P = 5(x² − 4x + 6)
= 5(x² − 4x + 4 + 2) [ vì -4x = -2.2.x vậy cần + 4 để thành hằng đẳng thức)
= 5(x − 2)² + 5.2
= 5(x − 2)² + 10 ≥ 10.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
Vậy Min P = 10 khi và chỉ khi x = 2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = −3x² − 6x + 2
Giải:
A = −3(x² + 2x − 2/3)
= −3(x² + 2x + 1 − 1 −2/3)
= −3[(x + 1)² − 5/3]
= −3(x + 1)² + 5
(x + 1)² ≥ 0 ⇒ −3(x + 1)² ≤ 0 ⇒ −3(x + 1)² + 5 ≤ 5
⇒ A ≤ 5 nên Max A = 5 khi và chỉ khi x + 1 = 0 suy ra khi x = -1.
Vậy Max A = 5 khi và chỉ khi x = -1.
Tìm GTNN của biểu thức
Giải:
Vì biểu thức có căn bậc 2 của x nên ta cần đặt điều kiện xác định là biểu thức dưới căn phải lớn hơn hoặc bằng 0.
ĐKXĐ: x ≥ 0.
Ta có:
Như vậy tích của hai phân thức trên là một hằng số = 4.
Vậy ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) với hai số dương
Ta được
Vậy Min Q = 4 khi và chỉ khi
Tham khảo thêm: tại đây