Cách xác định góc giữa hai đường thẳng cực hay
A. Phương pháp giải
Để xác định góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có hai cách sau:
+ Cách 1: Gọi n→(x; y) và n’→( x’; y’) lần lượt là VTPT của hai đường thẳng d và d’. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:
Cosα = |cos( n→; n’→ ) | =
+ Cách 2: Gọi k1 và k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:
tgα =
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 3x + y – 2 = 0 và (b): 2x – y + 39 = 0.
A. 300 B. 600 C. 900 D. 450
Hướng dẫn giải
Đường thẳng: 3x + y – 2 = 0có VTPT n→( 3; 1).
Đường thẳng: 2x – y + 39 = 0 có VTPT n→( 2; -1)
cos(a; b) = |cos( na→; nb→ ) | =
⇒ ( a; b) = 450
Chọn D.
Ví dụ 2: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng ∆1 : 10x + 5y – 1 = 0 và ∆2 :
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Vectơ pháp tuyến của ∆1; ∆2 lần lượt là n1→ = (2; 1); n2→ = (1; 1)
cos(∆1; ∆2) = |cos( n1→, n2→ ) | =
Chọn B.
Ví dụ 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 và 4x – 2y + 10 = 0 .
A. 300 B. 600 C. 900 D. 450
Lời giải
Đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 có VTPT n1→(3; 1)
Đường thẳng: 4x – 2y + 10= 0 có VTPT n2→(4; -2)
cos(d1, d2) = |cos( n1→, n2→ ) | = ⇒ (d1, d2) = 450
Chọn D.
Ví dụ 4: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 3y – 9 = 0 và d2:
A. B. C. D. tất cả sai
Lời giải
Vectơ pháp tuyến của d1; d2 lần lượt là n1→( 1; 3); n2→(1; -1).
Cos( d1; d2) = |cos( n1→, n2→ ) | =
Chọn C.
Ví dụ 5 : Tính góc giữa hai đường thẳng: (a): = 1 và (b):
A. 00 B. 450 C. 600 D. 900
Hướng dẫn giải
Đường thẳng (a) ⇔ 4x + 2y – 8 = 0 có VTPT n→( 4; 2)
Đường thẳng (b) có VTCP u→( 2; -4) nên VTPT n’→( 4; 2)
⇒ cos(a; b) = = 1
⇒ Góc giữa hai đường thẳng đã cho là 00.
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho đường thẳng (a): x + y – 10 = 0 và đường thẳng (b): 2x + my + 99 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.
A. m = -1 B. m = 0 C. m = 1 D. m = 2
Lời giải
Đường thẳng (a) có VTPT n→( 1; 1)
Đường thẳng (b) có VTPT n’→( 2 ;m)
Để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 450 thì
Cos450 =
⇔ |2 + m| =
⇔ 4 + 4m + m2 = 4 + m2
⇔ 4m = 0 ⇔ m = 0
Chọn B
Ví dụ 7: Cho đường thẳng (a): y = 2x + 3 và (b): y = -x + 6. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b)?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).
Đường thẳng (a) có hệ số góc k1 = 2 và đường thẳng (b) có hệ số góc k2 = -1.
⇒ Tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:
Tgα = = 3
Chọn C.
Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng (d1): y = – 3x + 8 và (d2) : x + y – 10 = 0. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2?
A. B. 1 C. 3 D.
Lời giải
Đường thẳng (d1) có hệ số góc k1 = – 3.
Đường thẳng (d2) ⇔ y = -x + 10 có hệ số góc k2 = -1.
⇒ tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:
tgα =
Chọn A.
Ví dụ 9: Cho đường thẳng (a): và đường thẳng ( b): x + my – 4 = 0. Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 600.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
+ Đường thẳng (a) có VTCP u→( m, 1) nên có VTPT n→( 1; -m) .
+ Đường thẳng (b) có VTPT n’→( 1; m).
+ Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 600 thì:
Cos600 =
⇔ 1 + m2 = 2.|1 – m2| (*)
+ Nếu -1 < m < 1 thì 1 – m2 > 0. Từ (*) suy ra: 1 + m2 = 2 (1 – m2)
⇔ 1+ m2 = 2- 2m2 ⇔ 3m2 = 1
⇔ m2 = ⇔ m= ± ( thỏa mãn điều kiện) .
+ Nếu m ≥ 1 hoặc m ≤ -1 thì 1- m2 ≤ 0. Từ (*) suy ra:
1 + m2 = 2( m2 – 1) ⇔ 1 + m2 = 2m2 – 2
⇔ m2 = 3 ⇔ m = ±√3.
Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn.
Chọn D.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 2y – 7 = 0 và d2: 2x – 4y + 9 = 0.
A. – B. C. D.
Lời giải:
Đáp án: A
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là n1→ = (1; 2)
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d2 là n2→ = (2; -4)
Gọi φ là góc giữa 2 đường thẳng ta có:
cosφ = = –
Câu 2: Tìm góc giữa đường thẳng d: 6x – 5y + 15 = 0 và ∆2:
A. 900 B. 300 C. 450 D. 600
Lời giải:
Đáp án: A
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n1→ = (6; -5)
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆2 là n2→ = (5; 6)
Ta có n1→ . n2→ ⇒ d ⊥ ∆2.
Câu 3: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: và d2:
A. B. C. D. tất cả sai
Lời giải:
Đáp án: D
Vectơ chỉ phương của d1; d2 lần lượt là u1→(3; 4); u2→(1; 1).
Cos( d1; d2) = |cos(u1→; u2→) | =
Câu 4: Góc giữa hai đường thẳng: (a): = 1 và (b): gần với số đo nào nhất?
A. 630 B. 250 C. 600 D. 900
Lời giải:
Đáp án: A
Đường thẳng (a) ⇔ 4x – 3y + 12 = 0 có VTPT n→( 4; -3).
Đường thẳng (b) có VTCP u→( 6; -12) nên VTPT n’→( 2; 1)
⇒ cos(a; b) =
⇒ Góc giữa hai đường thẳng đã cho xấp xỉ 630.
Câu 5: Cho đường thẳng (a): x – y – 210 = 0 và đường thẳng (b): x + my + 47 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.
A. m = -1 B. m = 0 C. m = 1 D. m = 2
Lời giải:
Đáp án: B
Đường thẳng (a) có VTPT n→( 1; -1)
Đường thẳng (b) có VTPT n’→( 1; m)
Để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 450 thì
Cos450 =
⇔ |1 – m| =
⇔ 1- 2m + m2 = 1 + m2
⇔ -2m = 0 ⇔ m = 0
Câu 6: Cho đường thẳng (a): y = -x + 30 và (b): y = 3x + 600. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b)?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải:
Đáp án: B
Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).
Đường thẳng (a) có hệ số góc k1 = -1 và đường thẳng (b) có hệ số góc k2 = 3.
⇒ Tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:
Tgα = = 2
Câu 7: Cho hai đường thẳng (d1): y = -2x + 80 và (d2) : x + y – 10 = 0. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2?
A. B. 1 C. 3 D.
Lời giải:
Đáp án: D
Đường thẳng (d1) có hệ số góc k1 = – 2.
Đường thẳng (d2) ⇔ y = -x + 10 có hệ số góc k2 = -1.
⇒ tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:
tgα =
Câu 8: Cho đường thẳng (a): và đường thẳng ( b): 2x + y – 40 = 0.Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải:
Đáp án: B
+ Đường thẳng (a) có VTCP u→( m; 2) nên có VTPT n→( 2; -m) .
+ Đường thẳng (b) có VTPT n’→( 2;1).
+ Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450 thì:
Cos450 =
⇔ .√5 = √2|4 – m|
⇔ ( 4 + m2).5 = 2(16 – 8m + m2)
⇔ 20 + 5m2 = 32 – 16m + 2m2
⇔ 3m2 + 16m – 12 = 0 ⇔ m = hoặc m = – 6
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
- Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện
- Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
- Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc
- Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Săn SALE shopee tháng 6:
- Tsubaki 199k/3 chai
- L’Oreal mua 1 tặng 3
- La Roche-Posay mua là có quà: