Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác và cách giải – Toán lớp 11
1. Lý thuyết
a. Hàm số y = sinx
– Tập xác định: D = R
– Tập giá trị: [-1;1]
b. Hàm số y = cosx
– Tập xác định: D = R
– Tập giá trị: [-1;1]
c. Hàm số y = tanx
– Tập xác định: D=Rπ2+kπ, k∈ℤ
– Tập giá trị: R
d. Hàm số y = cotx
– Tập xác định: D=Rkπ, k∈ℤ
– Tập giá trị: R
2. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
– Phương pháp giải:
y=fxgx xác định khi gx≠0
y=fx xác định khi fx≥0
y=fxgx xác định khi g(x) > 0
y = tan[u(x)] xác định khi ux≠π2+kπ, k∈ℤ
y = cot[u(x)] xác định khi ux≠kπ, k∈ℤ
sinx≠0 khi x≠kπ k∈ℤ
cosx≠0 khi x≠π2+kπ k∈ℤ
– Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau
a) y=tan3x+π3
b) y=2−sinx
Lời giải
a) y=tan3x+π3=sin3x+π3cos3x+π3
Điều kiện xác định: cos3x+π3≠0
⇔3x+π3≠π2+kπ,k∈ℤ⇔3x≠π6+kπ,k∈ℤ⇔x≠π18+kπ3,k∈ℤ
Vậy tập xác định của hàm số là D=ℝπ18+kπ3,k∈ℤ
b) Điều kiện xác định: 2−sinx≥0
⇔sinx≤2 (đúng ∀x∈ℝ) vì −1≤sinx≤1 ∀x∈ℝ
Vậy tập xác định của hàm số là D = R.
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau
a) y=2sinx−cosx
b) y=tan3x2sinx+1+cotx−1
Lời giải
a) Điều kiện xác định: sinx−cosx≠0⇔sinx≠cosx (*)
+ Trường hợp 1: cosx = 0. Ta có sin2x + cos2x = 1
⇔sin2x=1⇔sinx=±1
Hiển nhiên sinx≠cosx.
+ Trường hợp 2: cosx≠0. Chia cả hai vế cho cosx
(*) ⇔sinxcosx≠1⇔tanx≠1⇔x≠π4+kπ; k∈ℤ.
Vậy tập xác định của hàm số là D=ℝ π4+kπ; k∈ℤ
b) Vì tan3x=sin3xcos3x và cotx−1=cosx−1sinx−1
Điều kiện xác định: cos3x≠0sinx≠−12sinx−1≠0
⇔3x≠π2+kπx≠−π6+k2πx≠7π6+k2πx−1≠kπ ⇔x≠π6+kπ3x≠−π6+k2πx≠7π6+k2πx≠1+kπ
⇔x≠π6+kπ3x≠1+kπ (k∈ℤ)
Vậy tập xác định của hàm số là D=ℝπ6+kπ3; 1+kπ; k∈ℤ.
Dạng 2. Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác
– Phương pháp giải:
Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác
−1≤sinu(x)≤1; 0≤sin2u(x)≤1; 0≤sinu(x)≤1
−1≤cosu(x)≤1;0≤cos2u(x)≤1; 0≤cosu(x)≤1
– Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
a) y = 2sin3x – 5
b) y=2sin2x2−π12+5
c) y = |cos(3x-2)| + 4
Lời giải
a) Ta có: −1≤sin3x≤1∀x∈ℝ
⇔−2≤2sin3x≤2∀x∈ℝ⇔−7≤2sin3x−5≤−3∀x∈ℝ
Vậy tập giá trị: T = [-7;-3].
b) Ta có: 0≤sin2x2−π12≤1∀x∈ℝ
⇔0≤2sin2x2−π12≤2∀x∈ℝ⇔5≤2sin2x2−π12+5≤7∀x∈ℝ
Vậy tập giá trị: T = [5;7].
c) Ta có: 0≤cos3x−2≤1∀x∈ℝ
⇔4≤cos3x−2+4≤5∀x∈ℝ
Vậy tập giá trị: T = [4;5].
Ví dụ 2. Tìm tập giác trị của các hàm số sau:
a) y=sinx+1−2
b) y = cos2x + 4sinx +1
Lời giải
a) Điều kiện xác định: sinx+1≥0⇔sinx≥−1∀x∈ℝ.
Tập xác định D = R.
Ta có: −1≤sinx≤1∀x∈ℝ
⇔0≤sinx+1≤2∀x∈ℝ⇔0≤sinx+1≤2∀x∈ℝ⇔−2≤sinx+1−2≤2−2∀x∈ℝ
Vậy tập giá trị: T=−2;2−2.
b) y = cos2x + 4sinx +1 = 1 – 2sin2x + 4sinx +1 = -2sin2x + 4sinx + 2 = -2(sinx – 1)2 + 4.
Ta có: −1≤sinx≤1∀x∈ℝ
⇔−2≤sinx−1≤0∀x∈ℝ⇔0≤sinx−12≤4∀x∈ℝ⇔−8≤−2sinx−12≤0∀x∈ℝ⇔−4≤−2sinx−12+4≤4∀x∈ℝ
Vậy tập giá trị: T = [-4;4].
Dạng 3. Tìm m để hàm số lượng giác có tập xác định là R
– Phương pháp giải:
m≥fx∀x∈a;b⇒m≥maxx∈a;bfxm>fx∀x∈a;b⇒m>maxx∈a;bfxm≤fx∀x∈a;b⇒m≤minx∈a;bfxm<fx∀x∈a;b⇒m<minx∈a;bfx
– Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y=sinx+m xác định trên R.
Lời giải
Để hàm số xác định trên R thì sinx+m≥0 ∀x∈ℝ⇔m≥−sinx ∀x∈ℝ.
Mà ta có −1≤sinx≤1 ∀x∈ℝ
⇔−1≤−sinx≤1 ∀x∈ℝ
Nên m≥1.
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y=sin2x−2sinx+m xác định trên R.
Lời giải
Ta có:y=sin2x−2sinx+m=sinx−12+m−1
Hàm số xác định trên R khi sinx−12+m−1≥0∀x∈ℝ
⇔m≥1−sinx−12∀x∈ℝ
Ta có: −1≤sinx≤1∀x∈ℝ
⇔−2≤sinx−1≤0∀x∈ℝ⇔0≤sinx−12≤4∀x∈ℝ⇔−4≤−sinx−12≤0∀x∈ℝ⇔−3≤1−sinx−12≤1 ∀x∈ℝ
Vậy m≥1.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tập xác định của hàm số y=cot 2x−π3 là
A. D=ℝπ6+kπ2;k∈ℤ
B. D=ℝ5π12+kπ;k∈ℤ
C. D=ℝπ2+kπ;k∈ℤ
D. D=ℝ5π12+kπ2;k∈ℤ
Câu 2. Tập xác định của hàm số y=tanx+cotx là
A. R
B. ℝkπ;k∈ℤ
C. ℝπ2+kπ;k∈ℤ
D. ℝkπ2;k∈ℤ
Câu 3. Tập xác định của hàm số y=sinx+1 là:
A. D=−1;+∞
B. D = R
C. D=ℝπ2+kπ;k∈ℤ
D. D=−∞;−1
Câu 4. Tập xác định của hàm số y=3sinx2cosx−3 là:
A. D=ℝπ6+k2π;k∈ℤ
B. D=ℝπ3+k2π;k∈ℤ
C. D=ℝ±π6+k2π;k∈ℤ
D. D=ℝπ3+k2π;2π3+k2π;k∈ℤ
Câu 5. Tập xác định của hàm số y=20211−tanx+sin2x là
A. D=ℝπ4+kπ;π2+k2π; k∈ℤ
B. D=ℝπ4+kπ;π2+kπ; k∈ℤ
C. D=ℝπ4+kπ; k∈ℤ
D. D=ℝ−π4+kπ;−π2+kπ; k∈ℤ
Câu 6. Tập xác định của hàm số y=2x−1sin2x−cos2x là
A. D=ℝπ4+kπ;k∈ℤ
B. D=ℝπ2+kπ;k∈ℤ
C. D=ℝπ4+kπ2;k∈ℤ
D. D=ℝ3π4+k2π;k∈ℤ
Câu 7. Tập xác định của hàm số y=1−cos3x1+sin4x là
A. D=ℝ−π8+kπ2, k∈ℤ
B. D=ℝ−3π8+kπ2, k∈ℤ
C. D=ℝ−π4+kπ2, k∈ℤ
D. D=ℝ−π6+kπ2, k∈ℤ
Câu 8. Hàm số nào dưới đây có tập xác định là R?
A. y = sinx + cot5x
B. y=tan3xsin2x+1
C. y=2cosx
D. y=1−sin2x
Câu 9. Tập giá trị của hàm số y = 1 – 2|sin2x| là
A. [1;3]
B. [-1;1]
C. [-1;3]
D. [-1;0]
Câu 10. Tập giá trị của hàm số là
A. [2;3]
B. [1;2]
C. [2;4]
D. [3;4]
Câu 11. Tập giá trị của hàm số y = 2 + sinxcosx có dạng T = [m,M]. Giá trị của m là:
A. 52
B. 32
C. 23
D. 1
Câu 12. Tập giá trị của hàm số y = 2sin3x +1 là
A. [-1;1]
B. [-5;7]
C. [0;2]
D. [-1;3]
Câu 13. Tìm m để hàm số y=2sinx−m xác định trên R
A. m∈−∞;−1∪1;+∞
B. m∈−∞;−1∪1;+∞
C. m≠1
D. m∈−1;1
Câu 14. Hàm số y=2−sin2x2cosx+m−1 có tập xác định R khi và chỉ khi:
A. m > 3
B. m < -1
C. m≥3
D. m≤−1
Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=sin2x−4cosx+2m−1 có tập xác định là R.
A. m≥−32
B. m≥52
C. Không có m thỏa mãn
D. m≥5
Bảng đáp án
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
D
B
C
B
C
A
D
B
D
B
D
A
A
B
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:
Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác và cách giải
Cách tính GTNN – GTLN của hàm số lượng giác chi tiết nhất
Cách giải phương trình lượng giác cơ bản chi tiết nhất
Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác và cách giải
Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác và cách giải