Dãy số là gì?
Dãy số là một tập hợp các số được sắp xếp theo một quy tắc nhất định. Mỗi số trong dãy được gọi là một phần tử của dãy, và chúng ta thường ký hiệu dãy số bằng cách liệt kê các phần tử của nó dưới dạng $(a_1, a_2, a_3, …, a_n)$, trong đó $a_i$ là phần tử thứ $i$ của dãy.
Ví dụ, dãy số Fibonacci là một dãy số được định nghĩa bởi quy tắc:
$F_1 = 1$
$F_2 = 1$
$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ với $n geq 3$
Dãy số Fibonacci được ký hiệu là $(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …)$, trong đó $F_1 = 1$, $F_2 = 1$, $F_3 = 2$, $F_4 = 3$, $F_5 = 5$, v.v.
Các loại dãy số
Dãy số là một khái niệm quan trọng trong toán học và có nhiều loại khác nhau. Dưới đây là một số loại dãy số thường gặp:
– Dãy số tự nhiên: là dãy số bắt đầu từ số $1$ và các số tiếp theo được thêm một đơn vị so với số trước đó. Ví dụ: $(1, 2, 3, 4, 5, …)$
– Dãy số Fibonacci: là dãy số bắt đầu bằng hai số $1$ và các số tiếp theo được định nghĩa bởi tổng của hai số trước đó. Ví dụ: $(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …)$
– Dãy số chẵn/lẻ: là dãy số bao gồm các số chẵn hoặc lẻ. Ví dụ: $(2, 4, 6, 8, …)$ là dãy số các số chẵn và $(1, 3, 5, 7, …)$ là dãy số các số lẻ.
– Dãy số bình phương: là dãy số các số được bình phương. Ví dụ: $(1, 4, 9, 16, 25, …)$
– Dãy số mũ: là dãy số các số được nhân với một số cố định. Ví dụ: $(2, 4, 8, 16, 32, …)$ là dãy số các số lũy thừa của $2$.
Có rất nhiều loại dãy số khác nhau và mỗi loại dãy đều có các tính chất và ứng dụng riêng.
Công thức tính dãy số cách đều
Để tính dãy số cách đều (hay còn gọi là dãy số hình học), ta có thể sử dụng công thức sau:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
Trong đó, $a_n$ là phần tử thứ $n$ của dãy, $a_1$ là phần tử đầu tiên của dãy, $n$ là vị trí của phần tử cần tính, và $d$ là công sai (hay còn gọi là khoảng cách giữa hai phần tử liên tiếp trong dãy).
Ví dụ, để tính dãy số cách đều bắt đầu từ số $2$ và với công sai là $3$, ta có thể sử dụng công thức trên:
$a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)3 = 3n-1$
Vậy dãy số cách đều bắt đầu từ số $2$ và với công sai là $3$ sẽ là $(2, 5, 8, 11, 14, …)$, trong đó $a_1 = 2$, $d = 3$.
Công thức tính dãy số không cách đều
Công thức tính dãy số không cách đều không có một công thức chung, mà sẽ phụ thuộc vào quy luật sinh dãy số. Tuy nhiên, nếu đã biết được quy luật sinh dãy số, ta có thể áp dụng công thức đệ quy để tính các phần tử của dãy số.
Công thức đệ quy cho dãy số là công thức tính phần tử thứ $n$ dựa trên các phần tử trước đó trong dãy. Nó được định nghĩa bởi một công thức đệ quy chung như sau:
$a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, …, a_{n-k})$
Trong đó, $a_n$ là phần tử thứ $n$ trong dãy số, $f$ là một hàm số thể hiện quy luật sinh dãy số, $a_{n-1}, a_{n-2}, …, a_{n-k}$ là các phần tử trước đó trong dãy được sử dụng để tính toán $a_n$. Giá trị của $k$ phụ thuộc vào quy luật sinh dãy số.
Ví dụ, dãy số Fibonacci có quy luật sinh như sau:
$F_1 = 1$
$F_2 = 1$
$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ với $n geq 3$
Để tính giá trị của $F_n$, ta sử dụng công thức đệ quy:
$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Trong đó, $F_{n-1}$ và $F_{n-2}$ là các phần tử trước đó trong dãy. Ta có thể sử dụng công thức đệ quy này để tính các phần tử của dãy Fibonacci.
Cách tính tổng dãy số không cách đều
Để tính tổng của dãy số không cách đều, ta có thể sử dụng một số phương pháp khác nhau phụ thuộc vào quy luật sinh dãy số và số lượng phần tử cần tính tổng. Dưới đây là một số phương pháp thường được sử dụng:
Một là: Phương pháp đệ quy: Nếu quy luật sinh dãy số đã biết, ta có thể tính tổng của dãy bằng cách sử dụng công thức đệ quy cho từng phần tử trong dãy số và cộng lại. Ví dụ, để tính tổng của dãy Fibonacci cho $n$ phần tử đầu tiên, ta có thể sử dụng công thức đệ quy $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ và tính tổng từ $F_1$ đến $F_n$ bằng cách sử dụng đệ quy.
Hai là: Phương pháp công thức tổng: Đối với một số loại dãy số như dãy số hình học hay dãy số bình phương, ta có thể tính tổng của nó bằng cách sử dụng công thức tổng của dãy số đó. Ví dụ, công thức tổng của dãy số hình học bắt đầu từ $a$ và có công bội $r$ cho $n$ phần tử đầu tiên là:
$S_n = a frac{1-r^n}{1-r}$
Trong đó, $S_n$ là tổng của $n$ phần tử đầu tiên của dãy, $a$ là phần tử đầu tiên của dãy, $r$ là công bội của dãy.
Ba là: Phương pháp số học: Nếu dãy số là một dãy số có tính chất số học, tức là mỗi phần tử trong dãy là một bội số của một số cố định $k$, ta có thể tính tổng của dãy số bằng cách sử dụng tính chất của dãy số số học. Trong trường hợp này, tổng của $n$ phần tử đầu tiên của dãy là $S_n = k frac{n(n+1)}{2}$.
Chú ý rằng, với một số loại dãy số phức tạp hơn, việc tính tổng có thể không thể được giải quyết bằng một công thức đơn giản, và ta cần sử dụng các phương pháp khác như phương pháp tích phân hoặc phương pháp chuỗi lũy thừa để tính gần đúng.
Bài tập tính tổng dãy số cách đều
Dưới đây là một số bài tập tính tổng dãy số cách đều:
Bài tập 1: Tính tổng 50 số đầu tiên của dãy số cách đều bắt đầu từ $1$ và có công sai là $2$.
Giải:
Phần tử đầu tiên của dãy là $a_1 = 1$.
Phần tử thứ $50$ của dãy là $a_{50} = a_1 + (50-1)d = 1 + (49)2 = 99$.
Số lượng phần tử cần tính tổng là $n = 50$.
Áp dụng công thức:
$S_n = frac{n}{2}(a_1 + a_n) = frac{50}{2}(1 + 99) = 2500$
Vậy tổng 50 số đầu tiên của dãy số cách đều bắt đầu từ $1$ và có công sai là $2$ là $2500$.
Bài tập 2: Tính tổng 10 số đầu tiên của dãy số cách đều bắt đầu từ $3$ và có công sai là $4$.
Giải:
Phần tử đầu tiên của dãy là $a_1 = 3$.
Phần tử thứ $10$ của dãy là $a_{10} = a_1 + (10-1)d = 3 + (9)4 = 39$.
Số lượng phần tử cần tính tổng là $n = 10$.
Áp dụng công thức:
$S_n = frac{n}{2}(a_1 + a_n) = frac{10}{2}(3 + 39) = 210$
Vậy tổng 10 số đầu tiên của dãy số cách đều bắt đầu từ $3$ và có công sai là $4$ là $210$.
Bài tập 3: Tính tổng 20 số đầu tiên của dãy số cách đều bắt đầu từ $-2$ và có công sai là $-3$.
Giải:
Phần tử đầu tiên của dãy là $a_1 = -2$.
Phần tử thứ $20$ của dãy là $a_{20} = a_1 + (20-1)d = -2 + (19)(-3) = -59$.
Số lượng phần tử cần tính tổng là $n = 20$.
Áp dụng công thức:
$S_n = frac{n}{2}(a_1 + a_n) = frac{20}{2}(-2 + (-59)) = -610$
Vậy tổng 20 số đầu tiên của dãy số cách đều bắt đầu từ $-2$ và có công sai là $-3$ là $-610$.
Bài tập tính tổng dãy số không cách đều
Dưới đây là một số bài tập tính tổng dãy số không cách đều:
Bài tập 1: Tính tổng 10 số đầu tiên của dãy Fibonacci.
Giải:
Dãy Fibonacci có quy luật sinh như sau:
$F_1 = 1$
$F_2 = 1$
$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ với $n geq 3$
Để tính tổng 10 số đầu tiên của dãy Fibonacci, ta sử dụng công thức đệ quy $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ để tính từng phần tử trong dãy và cộng lại. Ta có:
$F_1 = 1$
$F_2 = 1$
$F_3 = F_2 + F_1 = 2$
$F_4 = F_3 + F_2 = 3$
$F_5 = F_4 + F_3 = 5$
$F_6 = F_5 + F_4 = 8$
$F_7 = F_6 + F_5 = 13$
$F_8 = F_7 + F_6 = 21$
$F_9 = F_8 + F_7 = 34$
$F_{10} = F_9 + F_8 = 55$
Tổng 10 số đầu tiên của dãy Fibonacci là:
$1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143$
Vậy tổng 10 số đầu tiên của dãy Fibonacci là $143$.
Bài tập 2: Tính tổng 12 số đầu tiên của dãy số bình phương.
Giải:
Dãy số bình phương là một dãy số có quy luật sinh là $a_n = n^2$.
Để tính tổng 12 số đầu tiên của dãy số bình phương, ta sử dụng công thức tổng của dãy số bình phương:
$S_n = frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Thay $n = 12$ vào công thức, ta có:
$S_{12} = frac{12(12+1)(2times12+1)}{6} = 4,620$
Vậy tổng 12 số đầu tiên của dãy số bình phương là $4,620$.
Bài tập 3: Tính tổng 15 số đầu tiên của dãy số Catalan.
Giải:
Dãy Catalan là một dãy số có quy luật sinh như sau:
$C_0 = 1$
$C_{n+1} = sum_{i=0}^{n} C_i C_{n-i}$ với $n geq 0$
Để tính tổng 15 số đầu tiên của dãy Catalan, ta sử dụng công thức đệ quy $C_{n+1} = sum_{i=0}^{n} C_i C_{n-i}$ để tính từng phần tử trong dãy
Trên đây là một số thông tin liên quan đến Công thức tính tổng dãy số cách đều và dãy số không cách đều tại chuyên mục Toán học, Quý độc giả có thể tham khảo các bài viết khác liên quan tại website: luathoangphi.vn