Trọng tâm của tứ diện là một điểm quan trọng cần lưu ý trong các bài toán liên quan đến tứ diện. Vậy tâm của tứ diện là gì? Làm thế nào để xác định tâm của một tứ diện? Các tính chất của tiêu điểm là gì?… Trong nội dung bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này!
Tìm xem trọng tâm của tứ diện là gì?
Định nghĩa tâm của một tứ diện
Cho tứ diện (ABCD ). Khi đó (G ) là tâm của tứ diện (ABCD ) nếu và chỉ khi:
( overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = 0 )
Mỗi tứ diện chỉ có (1 ) tâm.
Làm thế nào để chứng minh các trọng tâm của một tứ diện?
Giả sử ngoài centroid (G ) còn tồn tại một điểm (G ‘) cũng thoả mãn thuộc tính:
( overrightarrow {G’A} + overrightarrow {G’B} + overrightarrow {G’C} + overrightarrow {G’D} = 0 )
Sau đó chúng tôi có:
(0 = overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} )
(= ( overrightarrow {GG ‘} + overrightarrow {G’A}) + ( overrightarrow {GG’} + overrightarrow {G’B}) + ( overrightarrow {GG ‘} + overrightarrow {G’ C}) + ( overrightarrow {GG ‘} + overrightarrow {G’D}) )
(= 4 overrightarrow {GG ‘} + ( overrightarrow {G’A} + overrightarrow {G’B} + overrightarrow {G’C} + overrightarrow {G’D}) )
(= 4 overrightarrow {GG ‘} )
( Rightarrow overrightarrow {GG ‘} = 0 )
( Rightarrow G equiv G ‘) hoặc chỉ tồn tại điểm (G ) thoả mãn:
( overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = 0 )
Cách vẽ trọng tâm của tứ diện ABCD
Chúng ta có (2 ) cách vẽ tâm của tứ diện:
- Phương pháp 1: Cho tứ diện (ABCD ). Sau đó (3 ) đoạn thẳng nối các trung điểm của (3 ) các cặp đường chéo đồng thời tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng. Điểm đó là tâm của tứ diện (ABCD )
Chứng tỏ:
Gọi (M, N, P, Q ) lần lượt là trung điểm của (AB, BC, CD, DA ).
Khi đó ta có: (MQ, NP ) là giá trị trung bình của ( Delta ABD ) và ( Delta CBD ) tương ứng.
( Rightarrow MQ // NP ) (same (// BD ))
( Rightarrow MQ = NP = frac {BD} {2} )
( Rightarrow MNPQ ) là một hình bình hành
( Rightarrow MP cap NQ ) tại điểm giữa của mỗi dòng
Làm tương tự đối với cặp cạnh chéo còn lại.
Vì vậy ta có điều cần chứng minh (đpcm).
- Phương pháp 2: Cho tứ diện (ABCD ) có (G ) là tâm của ( Delta BCD ). Trên đoạn thẳng (AG ) lấy điểm (K ) sao cho (KA = 3KG ). Khi đó điểm (K ) là tâm của tứ diện (ABCD )
Chứng tỏ:
Chúng ta có:
Vì (G ) là trọng tâm ( Delta BCD Rightarrow overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = 0 )
( overrightarrow {KA} + overrightarrow {KB} + overrightarrow {KC} + overrightarrow {KD} = overrightarrow {KA} + ( overrightarrow {KG} + overrightarrow {GB}) + ( overrightarrow { KG} + overrightarrow {GC}) + ( overrightarrow {KG} + overrightarrow {GD}) )
(= overrightarrow {KA} +3 overrightarrow {KG} + ( overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD}) )
(= overrightarrow {KA} +3 overrightarrow {KG} )
Ngược lại, vì (KA = 3KG Rightarrow overrightarrow {KA} +3 overrightarrow {KG} = 0 )
( Rightarrow overrightarrow {KA} + overrightarrow {KB} + overrightarrow {KC} + overrightarrow {KD} = 0 )
Vậy (K ) là tâm của tứ diện (ABCD )
***Chú ý: Trong một số trường hợp tứ diện có những tính chất đặc biệt, chúng ta sẽ có một số cách xác định riêng. Ví dụ, xác định trọng tâm của một tứ diện đều bằng cách xác định giao điểm của (4 ) đường cao từ mỗi đỉnh đến tam giác đáy đối diện của tứ diện.
Một số tính chất về trọng tâm của tứ diện
Cho tứ diện (ABCD ) có (G ) là tâm của tứ diện. Sau đó, chúng tôi có các thuộc tính sau:
- ( overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = 0 )
- (G ) là trung điểm của đoạn thẳng nối (2 ) là trung điểm (2 ) của bất kỳ cạnh đối diện nào trong tứ diện.
- (G ) nằm trên đường thẳng nối đỉnh của tứ diện với trọng tâm của tam giác cơ sở tương ứng sao cho khoảng cách từ (G ) đến đỉnh bằng (3 ) nhân với khoảng cách từ ( G ) đến trọng tâm của tam giác.
Bài tập liên quan đến trọng tâm của tứ diện
Chứng minh rằng 2 tứ diện có cùng trọng tâm
Cho tứ diện (ABCD ) và tứ diện (A’B’C’D ‘). Gọi (G ) là tâm của tứ diện (ABCD ). Khi đó (G ) cũng là tâm của tứ diện (A’B’C’D ‘) nếu và chỉ khi:
( overrightarrow {AA ‘} + overrightarrow {BB’} + overrightarrow {CC ‘} + overrightarrow {DD’} = 0 )
Chứng tỏ:
Chúng ta có:
( overrightarrow {AA ‘} + overrightarrow {BB’} + overrightarrow {CC ‘} + overrightarrow {DD’} = ( overrightarrow {AG} + overrightarrow {GA ‘}) + ( overrightarrow {BG } + overrightarrow {GB ‘}) + ( overrightarrow {CG} + overrightarrow {GC’}) + ( overrightarrow {DG} + overrightarrow {GD ‘}) )
(= ( overrightarrow {AG} + overrightarrow {BG} + overrightarrow {CG} + overrightarrow {DG})) + ( overrightarrow {GA ‘} + overrightarrow {GB’} + overrightarrow {GC ‘ } + overrightarrow {GD ‘}) )
(= overrightarrow {GA ‘} + overrightarrow {GB’} + overrightarrow {GC ‘} + overrightarrow {GD’} )
Vì vậy: ( overrightarrow {AA ‘} + overrightarrow {BB’} + overrightarrow {CC ‘} + overrightarrow {DD’} = 0 Leftrightarrow overrightarrow {GA ‘} + overrightarrow {GB’} + overrightarrow {GC ‘} + overrightarrow {GD’} = 0 )
Tôi có dc.
Ví dụ:
Cho tứ diện (ABCD ). Gọi (M, N, P, Q ) là tâm của (4 ) của tứ diện. Chứng minh rằng hai tứ diện (ABCD ) và (MNPQ ) có cùng trọng tâm
Giải pháp:
Chúng ta có:
( overrightarrow {AM} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {DM} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {BM} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {CM} )
(= frac { overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD}} {3} ) (do ( overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} + overrightarrow {MD} ) = 0 ))
Tương tự, chúng ta có:
( overrightarrow {BN} = frac { overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {BD}} {3} )
( overrightarrow {CP} = frac { overrightarrow {CA} + overrightarrow {CB} + overrightarrow {CD}} {3} )
( overrightarrow {DQ} = frac { overrightarrow {DA} + overrightarrow {DB} + overrightarrow {DC}} {3} )
Thêm cả hai vế của (4 ) trên bằng nhau, chúng ta nhận được:
( overrightarrow {AM} + overrightarrow {BN} + overrightarrow {CP} + overrightarrow {DQ} = 0 )
Theo thuộc tính trên ( Rightarrow ABCD ) và (MNPQ ) có cùng trọng tâm
Bài toán trọng tâm của tứ diện đặc biệt
- Tứ diện vuông là tứ diện có đỉnh mà (3 ) các cạnh từ đỉnh đó vuông góc với nhau.
- Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau.
- Tứ diện gần đều là tứ diện có các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
- Tứ diện trực tâm là tứ diện có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Ví dụ:
Gọi (G ) là tâm của tứ diện vuông (OABC ) (vuông tại (O )). Biết rằng (OA = OB = OC = a ). Tính chiều dài (OG )
Giải pháp:
Bởi vì (OA = OB = OC = a ) và ( widehat {AOC} = widehat {COB} = widehat {BOA} = 90 ^ { circle} )
Nên theo dõi Định lý Pythagore Chúng ta có :
(AB = BC = CA = a sqrt {2} )
( Rightarrow Delta ABC ) đều nhau.
Đặt (H ) là tâm ( Rightarrow Delta ABC )
Bởi thuộc tính trung tâm ( Rightarrow G in OH ) và ( Rightarrow OG = frac {3} {4} OH )
Vì ( Delta ABC ) có độ dài các cạnh bằng (a sqrt {2} ) nên ( Rightarrow ) chiều cao của ( Delta ABC ) là: (a sqrt {2}. frac { sqrt {3}} {2} = frac {a sqrt {6}} {2} )
( Rightarrow BH = frac {2} {3}. Frac {a sqrt {6}} {2} = frac {a sqrt {6}} {3} )
Theo tính chất của tứ diện vuông, (OH bot (ABC) )
( Rightarrow OH = sqrt {OB ^ 2-BH ^ 2} = frac {a} { sqrt {3}} )
( Rightarrow OG = frac {3} {4} OH = frac {a sqrt {3}} {4} )
Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết và một số dạng bài tập về trọng tâm của tứ diện. Hi vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề trọng tâm về khối tứ diện. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!
Xem thêm >>> Thể tích khối tứ diện đều: Khái niệm, Công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều
Xem thêm >>> Viết phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng