Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz ta có 2 cách. 1 cách bạn được học trong hình học không gian lớp 11 và 1 cách bạn được học ở hình học không gian tọa độ lớp 12. Tùy theo dữ kiện bài toán cho mà ta sử dụng cách 1 hoặc cách 2. Bài viết này sẽ hệ thống đầy đủ lý thuyết của 2 cách và bài tập minh họa có lời giải chi tiết.
A. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, có đường thẳng a và mặt phẳng (Q)
1. Định nghĩa
Gọi a’ là hình chiếu của a xuống mặt phẳng (Q), góc φ được tạo bởi giữa hai đường thẳng a và a’ chính là góc của đường thẳng a và mặt phẳng (Q).
- Nếu a ⊥ (Q) thì $widehat {left( {a,left( Q right)} right)}$ = 900.
- Góc tạo bởi giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn: 00 ≤ $widehat {left( {a,left( Q right)} right)}$ ≤ 900.
2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 11
Để xác định được góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a thì ta làm như sau:
- Bước 1: Tìm giao điểm O = a ∩ (Q)
- Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (Q)
- Bước 3: Góc (widehat {AOA’} = varphi ) chính là góc giữa đường thẳng a và (Q).
Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (Q) ta chọn một đường thẳng b ⊥ (Q) khi đó AA’ // b.
Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ΔOAA’
2. Công thức xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 12
Công thức: $sinvarphi = sin left( {widehat {a,(Q)}} right) = left| {cos left( {overrightarrow n ;overrightarrow u } right)} right| = frac{{left| {vec u.vec n} right|}}{{left| {vec u} right|left| {vec n} right|}}$
Trong đó:
- ${overrightarrow n }$ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
- ${overrightarrow u }$ là vecto chỉ phương của đường thẳng a.
Nếu như VTPT của (Q): ${overrightarrow n }$ = ( A; B; C) và VTCP của a: ${overrightarrow u }$ = ( a; b; c) thì góc được xác định theo công thức:
[sinvarphi = frac{{left| {A.a + B.b + C.c} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} (*)]B. Bài tập có lời giải chi tiết
Bài tập 1. Cho đường thẳng a: $frac{{x + 1}}{{ – 3}} = frac{{y + 5}}{1} = frac{{z – 1}}{2}$ và mặt phẳng (Q): x – 2y + z + 4 = 0. Hãy tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q).
Hướng dẫn giải
Theo đề bài:
- đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${overrightarrow u }$ = ( – 3; 1; 2)
- mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${overrightarrow n }$ = ( 1; – 2; 1)
Góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a:
$sinvarphi = frac{{left| {1.left( { – 3} right) + left( { – 2} right).1 + 1.2} right|}}{{sqrt {{1^2} + {{left( { – 2} right)}^2} + {1^2}} .sqrt {{{left( { – 3} right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = frac{{sqrt {21} }}{{14}}$
Kết luận: φ ≈ 190.
Bài tập 2. Trong không gian Oxyz có đường thẳng d: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – t}\ {y = 1 – 2t}\ {z = – 3 + t} end{array}} right.$ và mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 300.
Hướng dẫn giải
Theo đề bài:
- đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${overrightarrow u }$ = ( – 1; – 2; 1)
- mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${overrightarrow n }$ = ( – 1; 1; – 2)
Áp dụng công thức (*):
$sinvarphi = frac{{left| {left( { – 1} right).left( { – 1} right) + 1.left( { – 2} right) + left( { – 2} right).1} right|}}{{sqrt {{{left( { – 1} right)}^2} + {{left( 1 right)}^2} + {{left( { – 2} right)}^2}} .sqrt {{{left( { – 1} right)}^2} + {{left( { – 2} right)}^2} + {1^2}} }} = frac{1}{2}$
Kết luận: φ = 300.
Bài tập 3. Trong không gian Oxyz có 1 đường thẳng a và mặt phẳng (P). Biết phương trình đường thẳng d: $left{ begin{array}{l} x = 2 – mt\ y = 1 – 2t\ z = – 3 + t end{array} right.$ và phương trình mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 300.
Hướng dẫn giải
Theo đề bài:
- đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${overrightarrow u }$ = ( – m; – 2; 1)
- mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${overrightarrow n }$ = ( – 1; 1; – 2)
- $widehat {a,(Q)} = {30^0}$ $ Rightarrow sin left( {widehat {a,(Q)}} right)$$ = sin left( {{{30}^0}} right) = frac{1}{2}$
Áp dụng công thức (*):
$frac{1}{2} = frac{{left| {left( { – 1} right).left( { – m} right) + 1.left( { – 2} right) + left( { – 2} right).1} right|}}{{sqrt {{{left( { – 1} right)}^2} + {{left( 1 right)}^2} + {{left( { – 2} right)}^2}} .sqrt {{{left( { – m} right)}^2} + {{left( { – 2} right)}^2} + {1^2}} }}$ $ Leftrightarrow frac{1}{2} = frac{{left| {m – 4} right|}}{{sqrt 6 .sqrt {{m^2} + 5} }} Rightarrow left[ begin{array}{l} m = 1\ m = – 17 end{array} right.$