1. Lý thuyết toán 12 sự đồng biến nghịch biến của hàm số
1.1. Tính đơn điệu của hàm số định nghĩa như thế nào?
Một trong những tính chất quan trọng của hàm số trong chương trình Toán 12 là tính đơn điệu (đồng biến – nghịch biến hay tăng – giảm).
Ta có hàm số y = f(x) xác định trên một miền D bất kỳ.
– Hàm số f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên D nếu: 
thì 
– Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên D nếu: 
thì
Cách hiểu đơn giản: Hàm số đồng biến là hàm số có x và f(x) cùng tăng hoặc cùng giảm; hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f(x) giảm và x giảm thì f(x) tăng.
1.2. Điều kiện thỏa mãn để hàm số đơn điệu
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b):
– Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).
– Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b).
1.3. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số
4 bước xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể như sau:
– Bước 1: Tìm tập xác định.
– Bước 2: Tìm đạo hàm f’(x) rồi tìm các điểm xᵢ (i = 1, 2, …, n) sao cho tại đó đạo hàm không xác định hoặc đạo hàm bằng 0.
– Bước 3: Sắp xếp lại các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần rồi lập bảng biến thiên.
– Bước 4: Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Đăng ký nhận ngay bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán 12
2. Bài tập về sự đồng biến nghịch biến của hàm số lớp 12
2.1. Xét tính đơn điệu của hàm số đồng biến nghịch biến lớp 12
Bài tập 1: Hãy xét tính đơn điệu của hàm số sau: y = x³ – 3x² + 2
Giải:
Bước 1: Hàm số y = x³ – 3x² + 2 xác định với mọi x ∊ R
Bước 2: Ta có: y’=3x²- 6x
Xét y’=0 ⇒ 3x²- 6x = 0 ⇔ x = 0, x = 2
Bước 3: Bảng biến thiên
Bước 4: Kết luận
– Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (2;+∞) và nghịch biến trên khoảng (0;2).
Bài tập 2: Xét tính đơn điệu của hàm số y = x⁴ – 2x² + 1
Giải:
Ta có: y = x⁴ – 2x² + 1, hàm số xác định với mọi x ∊ R
y’ = 4x³ – 4x = 4x (x² – 1)
Cho y’ = 0 ⇒ 4x (x² – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1
Bảng biến thiên:
Xét bảng biến thiên có thể kết luận:
-
Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1;+∞).
-
Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (-∞;-1) và (0;1).
2.2. Phương pháp tìm điều kiện của tham số khi hàm số đơn điệu
Bài tập 3: Xác định tham số m để thỏa mãn hàm số đồng biến trên tập xác định.
Giải:
Xét hàm số:
Có:
Do hệ số
Nên để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định thì phương trình y’=0 phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
Tức là:
Bài tập 4: Xác định tham số m để hàm số luôn nghịch biến
Giải:
Thông qua những kiến thức trong bài viết, hi vọng các em đã có thể vận dụng lý thuyết vào làm bài tập Toán 12 sự đồng biến nghịch biến của hàm số. Để có thể học thêm nhiều phần bài giảng thú vị và chi tiết khác, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản để bắt đầu quá trình học tập của mình nhé!