Tìm hiểu về các con số? Bài toán tính tổng của một dãy số được hiểu như thế nào? Một số quy tắc phổ biến trong chuỗi là gì? Tổng các số cách đều dựa vào công thức nào? Công thức tính tổng của một dãy số không bằng nhau là gì? Một số bài toán về tính tổng các số cách đều và cách đều nhau?
Tính tổng của dãy số cách đều và không cách đều nhau là một kiến thức quan trọng trong chương trình toán học cơ bản. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp cho các bạn những thông tin cơ bản về công thức tính tổng các số cách đều và không cách đều nhau.
1. Tìm hiểu về dãy số:
1.1. Dãy số là gì?
Dãy thường được viết dưới dạng khai triển u1, u2, u2,…, un; trong đó un = u(n) hoặc (un) là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát, u1 là số hạng đầu tiên của dãy (un).
– Ví dụ 1: Dãy số tự nhiên chẵn: 2, 4, 6, 8,… có số hạng đầu u1 = 2 số hạng chung un = 2n.
– Ví dụ 2: Dãy các số chính phương: 1, 4, 9, 16,… có số hạng đầu là u1 = 1 và số hạng tổng quát là un = n^2
1.2. Một số loại số phổ biến là:
Tăng trình tự:
– Dãy un được gọi là tăng nếu un+1 > un với mọi n N*
– Ví dụ: 1, 2, 3, 4, 5,…, 100, 101 là dãy số tăng vì số hạng sau luôn lớn hơn số hạng trước.
Chuỗi giảm dần:
– Dãy un được gọi là giảm nếu un+1 < u với mọi n ∈ N*.
– Ví dụ: 49, 46, 43, 40,…, 3, 0 là dãy giảm vì số hạng sau luôn nhỏ hơn số hạng trước.
Ngoài ra còn có dãy hữu hạn và dãy vô hạn.
2. Bài toán tính tổng của một dãy số được hiểu như thế nào?
Với bài toán tính tổng của dãy số, bài toán thường cho dãy gồm nhiều số hạng. Cũng cần lưu ý rằng dấu cộng không bắt buộc phải là dấu duy nhất trước mỗi thuật ngữ, thay vào đó có thể là dấu trừ hoặc kết hợp cả dấu cộng và dấu trừ.
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức sau:
A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2023
3. Một số quy luật phổ biến trong dãy số:
Việc đầu tiên khi tính tổng của một dãy số ta cần làm là xác định mẫu của dãy số đó. Một số quy tắc phổ biến như sau:
– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai trở đi) bằng tổng (hoặc hiệu) của các số hạng liền trước nó với một số tự nhiên a.
– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai trở đi) bằng tích (hoặc thương) của số hạng liền trước nó với một số tự nhiên khác không a.
– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ ba trở đi) bằng hai số hạng liền trước cộng lại.
– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ tư trở đi) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số thứ tự của số hạng đó cộng với một số tự nhiên d bất kỳ.
– Số hạng thứ hai bằng tích số thứ tự của số hạng đó nhân với số hạng liền trước.
– Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai trở đi) bằng tích của số liền trước nó với một số a bất kỳ.
– Với mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai trở đi), mỗi số liền sau bằng a nhân số liền trước cộng (trừ) n (với n khác 0).
4. Tổng của dãy số cách đều được tính dựa vào công thức nào?
4.1. Công thức tính tổng các số cách đều nhau:
Bước 1: Xác định quy luật của dãy số
Bước 2: Tính số hạng của dãy
Công thức: Số phần tử của dãy = (Số hạng cuối – Số hạng đầu) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1
Ví dụ: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,…, 100. Dãy có bao nhiêu số hạng?
Dãy số có số hạng là: (100 – 2) : 2 + 1 = 50 (số)
Phía trong:
100 là số hạng cuối cùng
2 là số hạng đầu tiên
2 là đơn vị khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy
Bước 3: Tổng của một dãy số
Công thức: Tổng của dãy = (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng nhỏ nhất của dãy) x số phần tử của dãy : 2
Ví dụ: Tính tổng của dãy số sau: 2, 4, 6, 8,,…, 100.
Áp dụng công thức trên, ta có:
Tổng dãy số = (100 + 2) x 50 : 2 = 2550
Phía trong:
2 là số hạng nhỏ nhất của dãy (số hạng đầu).
100 là số hạng lớn nhất của dãy (số hạng cuối).
50 là số hạng của dãy
4.2. Số hạng cuối cùng của dãy số cách đều nhau được tính như thế nào?
Công thức: Số hạng cuối của dãy cách đều = Số hạng đầu + (số hạng – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy
Ví dụ: Dãy số 2, 4, 6, 8,… có 50 số hạng. Tìm số hạng cuối cùng của dãy?
Áp dụng công thức trên, ta có:
Số hạng cuối = 2 + (50 – 1) x 2 = 100.
Phía trong:
2 là số hạng đầu tiên của dãy
50 là số hạng của dãy
2 là đơn vị khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy.
4.3. Số hạng đầu tiên của dãy số cách đều nhau được tính như thế nào?
Công thức: Số hạng đầu của dãy cách đều = số hạng cuối – (số hạng – 1) x khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy.
Ví dụ: Cho dãy số cách đều, trong đó số cuối cùng là 100, khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy là 2 đơn vị, số các số hạng của dãy là 50. Tìm số hạng đầu của dãy cách đều?
Áp dụng công thức trên, ta có:
Số hạng đầu của dãy cách đều trên = 100 – ( 50 – 1 ) x 2 = 2
Phía trong:
100 là số hạng cuối cùng
50 là số hạng
2 là đơn vị khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy.
4.4. Trung bình cộng của dãy số cách đều nhau được tính như thế nào?
– Công thức:
Trung bình cộng của dãy số cách đều = Tổng các số : số phần tử của dãy
– Ví dụ: Cho dãy số sau 2, 4, 6, 8,,…, 100. Tính trung bình cộng của dãy số cách đều.
Áp dụng công thức trên, ta có:
Trung bình cộng của một dãy số cách đều = 2550 : 50 = 51.
4.5. Một số lưu ý với bài toán tính tổng của dãy số cách đều nhau:
– Trong bài toán tính tổng của dãy số cách đều các em chỉ nên quan tâm đến số hạng đầu và số hạng cuối của dãy, dãy có bao nhiêu số hạng, khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy (còn có tên gọi khác là đơn vị khoảng cách)
– Trong bài toán có số hạng lẻ, số ở giữa bằng nửa tổng của từng cặp (số đầu + số cuối). Tức là (số đầu + số cuối): 2
– Tùy theo bài toán tính dãy số tăng giảm để áp dụng các công thức trên cho phù hợp.
5. Dựa vào công thức nào tính tổng của dãy số không bằng nhau?
Dãy số không cách đều nhau được gọi là dãy Fibonacci (hay còn gọi là tribonacci). Dãy số không bằng nhau là dãy số mà tổng (hoặc hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số.
Ví dụ: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +… + n(n + 1)
Dung dịch:
Nhân cả hai vế với 3, ta có:
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +… + n(n + 1).3
= 1,2.(3 – 0) + 2,3.(4 – 1) + 3,4.(5 – 2) +… + n(n + 1)[(n + 2) – (n + 1)]
= 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4+… + n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1)
= n(n + 1)(n + 2)
Chia cả hai vế cho 3, ta có:
một = [n(n + 1)(n + 2)] :3
6. Một số bài toán về dãy số cách đều và không bằng nhau:
6.1. Một số bài toán về dãy số cách đều nhau:
Câu hỏi 1: Dãy số 2, 4, 6, 8, 10,…, 124 có tất cả bao nhiêu số?
Dung dịch:
Xác định quy luật của dãy số: khoảng cách giữa số liền sau và số liền trước là 2 đơn vị, suy ra: d = 2
Số hạng của dãy = (124 – 2) : 2 + 1 = 62 số
Câu 2: Tính tổng các số trong dãy: 2, 5, 8, 11,…, 296
Dung dịch:
Xác định quy luật của dãy số: khoảng cách giữa số liền sau và số liền trước là 3 đơn vị, suy ra d = 3
Số hạng của dãy = (296 – 2) : 3 + 1 = 99 số
Tổng của dãy = (296 + 2) x 99 : 2 = 14751
Câu 3: Tính tổng các số sau = 4 + 7 + 10 + 13 + … + 2014 + 2017
Dung dịch:
Xác định quy luật của dãy số: khoảng cách giữa số liền sau và số liền trước là 3 đơn vị, suy ra d = 3
Số hạng của dãy = (2017 – 4) : 3 + 1 = 672 số
Tổng của chuỗi = (2017 + 4) x 672 : 2 = 679056
Câu 4: Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100, v.v… không?
Dung dịch:
Hai số 50 và 133 không thuộc dãy số đã cho vì:
– 50 không thuộc dãy số trên vì các số hạng của dãy số đã cho đều lớn hơn 50
– 133 không thuộc dãy số trên vì các số hạng của dãy đã cho chia hết cho 5 nhưng 133 không chia hết cho 5.
Câu 5: Viết các số lẻ liên tiếp từ 211. Số cuối cùng là 971. Viết được bao nhiêu số?
Dung dịch:
Khoảng cách giữa hai số lẻ liên tiếp là 2 đơn vị
Chữ số tận cùng hơn chữ số đầu đơn vị là:
971 – 211 = 760 (đơn vị)
760 đơn vị có số quãng đường là:
760: 2 = 380
Dãy số trên có các số hạng là:
380 +1 = 381 (số)
6.2. Một số vấn đề về các số không cách đều nhau:
Tổng A = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + …+ 98 x 99 + 99 x 100
Dung dịch:
Xác định quy luật: 1 x 2 = 2, 2 x 3 = 6, 3 x 4 = 12,… ta thấy đây là dãy số không bằng nhau
Nhân cả hai vế với 3, ta có:
3 x A = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 3 + 3 x 4 x 3 + … + 98 x 99 x 3 + 99 x 100 x 3
= 1 x 2 x (3 – 0) + 2 x 3 x (4 – 1) + 3 x 4 x (5 – 2) + … + 98 x 99 x (100 – 97) + 99 x 100 x (101 – ) 98)
= 1 x 2 x 3 – 1 x 2 x 0 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4 + … + 98 x 99 x 100 – 97 x 98 x 99 + 99 x 100 x 101 – 98 x 99 x 100
= 99 x 100 x 101
Như vậy: A = (99 x 100 x 101) : 3 = 333300
Chuyên mục: Bạn cần biết
Nhớ để nguồn bài viết: Công thức tính tổng dãy số cách đều và dãy số không cách đều của website thcstienhoa.edu.vn