Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆’
Phương pháp 1: Chọn mặt phẳng chứa đường thẳng ∆ và song song với đường thẳng ∆’. Khi đó
.png)
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có $SAbot left( ABCD right)$,đáy ABCD là hình chữ nhật với $AC=5a$ và $BC=4a$. Tính khoảng cách giữa SD và BC
Hướng dẫn giải
.png)
Ta có : $BC//left( SAD right)$
Do đó: $dleft( BC;SD right)=dleft( BC;left( SAD right) right)=dleft( B;left( SAD right) right)$
Mà :
Ta có: $AB=sqrt{A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=sqrt{25{{a}^{2}}-16{{a}^{2}}}=3a$
Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
.png)
Ta có:
Ví dụ 1: Hình chộp chữ nhật ABCD.ABCD’ có $AB=3;AD=4;AA’=5$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B’D’ bằng bao nhiêu?
.png)
Ta có: $left( ABCD right)//left( A’B’C’D’ right)$
$ACsubset left( ABCD right)$ và $B’D’subset left( A’B’C’D’ right)$
Nên $dleft( AC,B’D’ right)=dleft( left( ABCD right);left( A’B’C’D’ right) right)=AA’=5$
Bài tập tự giải: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AE và BC.Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MN,AC theo a.
Đáp số: $dleft( MN,AC right)=frac{asqrt{2}}{4}$
Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn thẳng đó. Ta xét 2 trường hợp sau:
1.∆ và ∆’ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
– Chọn mặt phẳng chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I
– Trong mặt phẳng kẻ [IJbot Delta ‘]
Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’ và $dleft( Delta ;Delta ‘ right)=IJ$
.png)
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB,AD, H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $SH=asqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Hướng dẫn giải
.png)
Ta có: $Delta CDN=Delta DAMleft( cgc right)$
Kẻ $HKbot SCRightarrow HKbot MDRightarrow DK=dleft( DM,SC right)$
Ta có:
$frac{1}{H{{K}^{2}}}=frac{1}{S{{H}^{2}}}+frac{1}{H{{C}^{2}}}$
.png)
2. ∆ và ∆’ vừa chéo nhau mà không vuông góc với nhau
Ta dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’ theo một trong hai cách sau đây:
Cách 1:
+ Chọn mặt phẳng chứa ∆ và song song với ∆’
+ Dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống bằng cách lấy điểm . Ta dựng đoạn , lúc đó đường thẳng d đi qua N và song song với ∆
+ Gọi $H=dcap ~Delta ‘,HK//MN$
Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của ∆ và ∆’ và $dleft( ~Delta ;Delta ‘ right)=HK=MN$
.png)
Cách 2:
+ Chọn mặt phẳng tại I
+ Tìm hình chiếu của d xuống ∆’ xuống mặt phẳng
+ Trong mặt phẳng , dựng $IJbot d$, từ J dựng đường thẳng song song với ∆ cắt ∆’ tại H, từ H dựng $HMbot JI$
Khi đó HM là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng ∆ và ∆’, và $dleft( Delta ,Delta ‘ right)=HM=JI$
.png)
Bài tập tự giải: Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau một góc $60{}^circ $ , nhận $AB=a$ làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy C với $BC=a$. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên Ax. Tính $dleft( AC,BD right)$
Đáp án: $dleft( AC;BD right)=frac{asqrt{93}}{31}$