Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
A. Phương pháp giải
+ Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M ( x0; y0). Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d(M; d) =
+ Cho điểm A( xA; yA) và điểm B( xB; yB) . Khoảng cách hai điểm này là :
AB =
Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Khoảng cách từ điểm M( 1; -1) đến đường thẳng ( a) : 3x – 4y – 21 = 0 là:
A. 1 B. 2 C. D.
Hướng dẫn giải
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( a) là:
d(M;a) = =
Chọn D.
Ví dụ 2: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: = 1 là:
A. 4,8 B. C. 1 D. 6
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d: = 1 ⇔ 8x + 6y – 48 = 0
⇒ Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là :
d( O; d) = = 4,8
Chọn A.
Ví dụ 3: Khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng là:
A. 2 B. C. D.
Hướng dẫn giải
+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:
(d) :
⇒ Phương trình ( d) : 4( x – 1) – 3( y – 2) = 0 hay 4x – 3y + 2 = 0
+ Khoảng cách từ điểm M đến d là:
d( M; d) = = 2
Chọn A.
Ví dụ 4. Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng (d): 8x + 6y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn (C) bằng:
A. R = 4 B. R = 6 C. R = 8 D. R = 10
Lời giải
Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng d chính là bán kính R của đường tròn
⇒ R= d(O; d) = = 10
Chọn D.
Ví dụ 5 . Khoảng cách từ điểm M( -1; 1) đến đường thẳng d: 3x – 4y + 5 = 0 bằng:
A. B. 1 C. D.
Lời giải
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:
d( M; d) = =
Chọn A.
Ví dụ 6. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x – 3y + 4 = 0 và (b): 2x + 3y – 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng:
A. 2√10 B. C. D. 2
Lời giải
Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :
⇒ A( -1; 1)
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là :
d( A; ∆) = =
Chọn C
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( 1; 2) ; B(0; 3) và C(4; 0) . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:
A. B. 3 C. D.
Lời giải
+ Phương trình đường thẳng BC:
⇒ ( BC) : 3(x – 0) + 4( y – 3) = 0 hay 3x + 4y – 12 = 0
⇒ chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
d( A; BC) = =
Chọn A.
Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC.
A. 10 B. 5 C. √26 D. 2√5
Lời giải
+ Phương trình BC:
⇒Phương trình BC: 2( x – 1) + 1( y – 5) = 0 hay 2x + y – 7 = 0
⇒ d( A;BC) = = √5
+ BC = = 2√5
⇒ diện tích tam giác ABC là: S = .d( A; BC).BC = .√5.2√5 = 5
Chọn B.
Ví dụ 9: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d1 : 4x – 3y + 5 = 0 và d2: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Diện tích của hình chữ nhật là:
A. 1. B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.
⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng
S = = 2 .
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Khoảng cách từ điểm M( 2;0) đến đường thẳng là:
A. 2 B. C. D.
Câu 2: Đường tròn ( C) có tâm I ( -2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng d: 5x + 12y – 10 = 0. Bán kính R của đường tròn ( C) bằng:
A. R = B. R = C. R = 44 D. R =
Câu 3: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (a) : 4x – 3y + 5 = 0 và (b) : 3x + 4y – 5 = 0. Biết hình chữ nhật có đỉnh A( 2 ;1). Diện tích của hình chữ nhật là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 4: Cho hai điểm A( 2; -1) và B( 0; 100) ; C( 2; -4) .Tính diện tích tam giác ABC ?
A. 3 B. C. D. 147
Câu 5: Khoảng cách từ A(3; 1) đến đường thẳng gần với số nào sau đây ?
A. 0, 85 B. 0,9 C. 0,95 D. 1
Câu 6: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng 4x – 3y + 5 = 0 và 3x + 4y + 5 = 0 đỉnh A(2; 1) . Diện tích của hình chữ nhật là
A. 6 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 7: Tính diện tích hình bình hành ABCD biết A( 1; -2) ; B( 2; 0) và D( -1; 3)
A. 6 B. 4,5 C. 3 D. 9
Câu 8: Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳn (d) : x + y – 2 = 0 và ( ∆) : 2x + 3y – 5 = 0 đến đường thẳng (d’) : 3x – 4y + 11 = 0
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
- Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
- Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện
- Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
- Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía
- Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc
- Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Săn SALE shopee tháng 5:
- Nước tẩy trang làm sạch L’Oreal giảm 50k
- Kem khử mùi Dove giảm 30k
- Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME tặng 3 quà