Tìm giá trị nhỏ nhất
Chuyên đề Toán 9: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
A. Cách tìm gtln, gtnn của biểu thức
Một số công thức bất đẳng thức thường dùng
1. Nếu a và b là hai số cùng dấu thì 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
2. Nếu a.b > 0 thì
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
3.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b ≥ 0
4.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a ≥ b ≥ 0 hoặc 0 ≥ b ≥ a
Bất đẳng thức Cauchy
Với a, b ≥ 0 thì hay
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Bất đẳng thức Cauchy suy rộng
0} right) hfill \ {left( {dfrac{{a + b}}{2}} right)^2} geqslant ab hfill \ {left( {a + b} right)^2} geqslant 4ab hfill \ {a^2} + {b^2} geqslant 2ab hfill \ ab leqslant {left( {dfrac{{a + b}}{2}} right)^2} leqslant dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} hfill \ end{matrix}” width=”220″ height=”214″ data-type=”0″ data-latex=”begin{matrix} dfrac{1}{{sqrt {ab} }} geqslant dfrac{2}{{a + b}},left( {a,b > 0} right) hfill \ {left( {dfrac{{a + b}}{2}} right)^2} geqslant ab hfill \ {left( {a + b} right)^2} geqslant 4ab hfill \ {a^2} + {b^2} geqslant 2ab hfill \ ab leqslant {left( {dfrac{{a + b}}{2}} right)^2} leqslant dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} hfill \ end{matrix}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B%7B%5Csqrt%20%7Bab%7D%20%7D%7D%20%5Cgeqslant%20%5Cdfrac%7B2%7D%7B%7Ba%20%2B%20b%7D%7D%2C%5Cleft(%20%7Ba%2Cb%20%3E%200%7D%20%5Cright)%20%5Chfill%20%5C%5C%20%20%7B%5Cleft(%20%7B%5Cdfrac%7B%7Ba%20%2B%20b%7D%7D%7B2%7D%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%5Cgeqslant%20ab%20%5Chfill%20%5C%5C%20%20%7B%5Cleft(%20%7Ba%20%2B%20b%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%5Cgeqslant%204ab%20%5Chfill%20%5C%5C%20%20%7Ba%5E2%7D%20%2B%20%7Bb%5E2%7D%20%5Cgeqslant%202ab%20%5Chfill%20%5C%5C%20%20ab%20%5Cleqslant%20%7B%5Cleft(%20%7B%5Cdfrac%7B%7Ba%20%2B%20b%7D%7D%7B2%7D%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%5Cleqslant%20%5Cdfrac%7B%7B%7Ba%5E2%7D%20%2B%20%7Bb%5E2%7D%7D%7D%7B2%7D%20%5Chfill%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D”>
B. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Hướng dẫn giải
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
Hướng dẫn giải
Ta biến đổi biểu thức như sau:
Dễ thấy giá trị m càng tăng thì giá trị của B cũng tăng. Dự đoán giá trị nhỏ nhất khi m = 6
Ta liên kết bài toán để tìm điểm rơi như sau:
Lời giải chi tiết
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 39 khi và chỉ khi m = 6
Hướng dẫn giải
Do C là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của C đạt tại a = b = 0,5
Ta liên kết bài toán để tìm điểm rơi như sau:
Lời giải chi tiết
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 8/3.
Hướng dẫn giải
Vậy MinD = 2012
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định:
Vậy maxB = 4. Dấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 6 – x = x + 2 => x = 2
Ta có:
Vì
=> khi và chỉ khi
Hướng dẫn giải
Vì
Dấu bằng xảy khi khi và chỉ khi x = 0
Vậy minA = 0 => x = 0
Chia cả tử và mấu số cho ta được
. Áp dụng bất đẳng thức cosi cho ta được:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 5/3 khi và chỉ khi x = 1
Cách khác: Thay vì tìm max A ta đi tìm
Xét biểu thức 0} right)” width=”411″ height=”50″ data-type=”0″ data-latex=”B = frac{1}{A} = frac{{x + sqrt x + 1}}{{5sqrt x }} = frac{{sqrt x }}{5} + frac{1}{5} + frac{1}{{5sqrt x }};left( {x > 0} right)” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=B%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BA%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7Bx%20%2B%20%5Csqrt%20x%20%20%2B%201%7D%7D%7B%7B5%5Csqrt%20x%20%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B%5Csqrt%20x%20%7D%7D%7B5%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B5%5Csqrt%20x%20%7D%7D%3B%5Cleft(%20%7Bx%20%3E%200%7D%20%5Cright)”>
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số ta có:
=>
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi => x = 1
Vậy giá trị lớn nhất của A = 5/3 khi x = 1
C. Bài tập tự luyện tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài tập 1: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức
Bài tập 2: Cho hai số thực dương a, b. Tìm GTNN của biểu thức
Bài tập 3: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức
Một số đề thi thử vào lớp 10 trên toàn quốc:
- Đề thi thử vào 10 môn Toán năm học 2021 – 2022 sở GD & ĐT Tỉnh Tiền Giang
- Đề thi thử vào 10 môn Toán năm học 2021 – 2022 sở GD & ĐT Tỉnh Trà Vinh
- Đề thi thử vào 10 môn Toán năm học 2021 – 2022 sở GD & ĐT Tỉnh Vĩnh Long
- Đề thi thử vào 10 môn Toán năm học 2021 – 2022 sở GD & ĐT Tỉnh Ninh Thuận
- Đề thi thử vào 10 môn Toán năm học 2021 – 2022 trường chuyên Thái Bình
–
Hy vọng tài liệu Tìm GTNN, GTLN của biểu thức Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!
Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:
- Luyện tập Toán 9
- Giải bài tập SGK Toán 9
- Đề thi giữa học kì môn Toán 9
- Đề thi vào 10 môn Toán
Tham khảo thêm:
- Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn
- Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên
- Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện
- Tìm m để phương trình có nghiệm
- Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
- Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH
- Từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O) (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MDE không qua tâm O (D, E thuộc (O), D nằm giữa M và E).
- Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe máy tăng thêm 10km/h vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120km.
- Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
- Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của oto tại A.