Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn không phải là kiến thức mới, nhưng ở chương trình học THPT sẽ được nâng cao và khó hơn rất nhiều. Vì thế, bài viết dưới đây sẽ giúp các em tìm hiểu kỹ về dạng toán bất phương trình bậc nhất hai ẩn này. Cùng chú ý nhé!
Kiến thức cần đạt được
- Hiểu rõ được thế nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hiểu rõ thế nào là nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
- Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn là gì?
- Vận dụng lý thuyết để giải các bài toán bất phương trình bậc nhất 2 ẩn.
Cơ sở lý thuyết bài giảng
Khái niệm về bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Ta có, bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát như sau: ax + by ≤ c
Trong đó có a,b,c là những số đã cho trước, còn x, y là các ẩn số cần tìm. a,b không được bằng 0.
Các cặp số (x0; y0) là các cặp nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn ax + by ≤ c, sao cho thỏa mãn điều kiện ax0 + by0 ≤ c.
Khái niệm về miền nghiệm
- Định nghĩa
- Định lí
- Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
Để biểu diễn được miền nghiệm, bạn cần thực hiện theo các bước dưới đây:
Thế nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
>> Xem thêm: Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn – Học tốt toán cùng Toppy
Một số bài tập SGK
Bài 1: SGK – 99
Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau:
Hướng dẫn giải chi tiết:
a) Ta có:
-x + 2 + 2 (y-2) < 2 (1 -x )
⇔ -x + 2y – 4 < 2 – 2x
Chuyển vế ta được bất phương trình: x + 2y < 4
Tập nghiệm của phương trình đã cho là nửa mặt phẳng được tô màu trên hệ tọa độ Oxy.
b) Ta có:
3(x-1) + 4(y-2) < 5x – 3
⇔ 3x – 3 + 4y -2 < 5x – 3
Đổi vế ta được bất phương trình: -x + 2y < 4
Tập nghiệm của bất phương trình được biểu diễn trên trục tọa độ như sau:
Bài 2: SGK – 99
Hướng dẫn giải chi tiết:
a) Miền nghiệm của hệ bất phương trình được biểu diễn qua hệ tọa độ sau:
b) Miền nghiệm của bất phương trình
là mặt phẳng được biểu diễn qua đồ thị Oxy sau: (bỏ 1 bờ là đường thẳng x/3 + y/2 =1)
Bài 3: SGK – 99
Hướng dẫn giải chi tiết:
Giả sử, gọi xí nghiệp sản xuất x là sản phẩm I, y sản phẩm là II. Thỏa mãn điều kiện x,y >= 0. Ta có, tổng số tiền lãi thu được là L = 3x + 5y (nghìn việt nam đồng).
Theo bài toán, ta có:
Nhóm A cần 2x + 2y máy
Nhóm B cần 2y máy và 2x + 4y máy.
=> Ta có bất phương trình:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền đa giác ABCOD với các tọa độ lần lượt là A(4;1), B(2;2), C(0;2); O(0;0); D(5;0). L sẽ đạt max tại một trong những đỉnh sau:
Ta có bảng:
(x;y) (2;2) (0;2) (0;0) (4;1) (5;1) L= 3x + 5y 16 10 0 17 15
Dựa vào bảng trên ta thấy Lmax = 17 khi x=4; y=1
=> Để có thể sản xuất 2 loại sản phẩm trên có lãi cao nhất, doanh nghiệp cần 4 sản phẩm I và 1 sản phẩm II.
Ta có hệ tọa độ:
Một số bài tập nâng cao về bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 1: Vận dụng lý thuyết vừa học hãy biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:
-3x + 2y > 5
Hướng dẫn chi tiết lời giải:
Ta vẽ đường thẳng (d): -3x + 2y = 5
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta lấy gốc tọa độ O(0;0), ta thấy O không thuộc (d) và có -3.0 + 2.0 = 0 < 5. Vì thế, nửa mặt phẳng không chứa bờ của (d) không chứa gốc O sẽ là miền nghiệm của bất phương trình 2 ẩn: -3x + 2y > 5.
Bài 2: Hãy xác định miền nghiệm của bất phương trình sau
(x – y)(x3 + y3) ≥ 0
Hướng dẫn giải chi tiết:
Ta có phương trình:
(x – y) ( x3 + y3) ≥ 0
⇔ (x – y) ( x + y) (x2 – xy + y2) ≥ 0
⇔ ( x – y) (x +y) ≥ 0
⇔ (1) hoặc (2)
=> Hệ bất phương trình (1) và (2) sẽ cho miền nghiệm
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta vẽ các đường thẳng (d): x + y = 0 và (d’): x – y = 0.
Xét điểm M có tọa độ (1;0), ta có (1;0) là nghiệm của hệ bất phương trình (1). Vì thế M (1;0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (1).
Xét tiếp điểm N (-1; 0), ta có (-1;0) là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn (2).
Ta có miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả 2 đường thẳng (d); (d’).
Hãy áp dụng kiến thức đã học, thực hành bài toán dưới đây:
Bài tập: Xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau:
- 3x – 5y ≥ 0
- (x- 2y)/2 > (3x + y +1)/3
Tổng kết kiến thức
Trên đây là toàn bộ những kiến thức về bất phương trình bậc nhất 2 ẩn, tập nghiệm của chúng và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hy vọng qua bài học trên các em có thể vận dụng linh hoạt nguồn kiến thức để có thể tìm các tập nghiệm của bất phương trình hai ẩn. Giải những bài toán liên quan, thể hiện được miền tập nghiệm qua hệ tọa độ Oxy. Chúc các em luôn cố gắng học tập để đạt thành tích cao.