Bài 1.Phân tích đa thức ({x^2} + 4{y^2} + 4xy – 16) thành nhân tử.
Bài 2.Thực hiện phép tính: ({{2x + 6} over {3{x^2} – x}}:{{{x^2} + 3x} over {1 – 3x}}.)
Bài 3.Cho biểu thức (P = {{8{x^3} – 12{x^2} + 6x – 1} over {4{x^2} – 4x + 1}}.)
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.
b)Chứng minh rằng mọi giá trị của x nguyên thì P nguyên.
Bài 4.Chứng minh rằng (left( {{x over {{x^2} – 36}} – {{x – 6} over {{x^2} + 6x}}} right):{{2x – 6} over {{x^2} + 6x}} + {x over {6 – x}} = – 1.)
Bài 5.Tìm chiều cao AH của hình thang ABCD (left( {ABparallel CD} right)) biết AB = 7cm, đường trung bình MN = 9cm và diện tích hình thang bằng (45c{m^2}).
Bài 6.Cho tam giác ABC vuông tại A (left( {AB < AC} right).) Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N.
a)Chứng minh tư giác AMIN là hình chữ nhật.
b)Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi.
c)Cho AC = 20cm, BC = 25cm. Tính diện tích (Delta ABC.)
d)Đường thẳng BN cắt cạnh DC tại K. Chứng minh: ({{DK} over {DC}} = {1 over 3}.)
Bài 1. ({x^2} + 4{y^2} + 4xy – 16)
(= {left( {x + 2y} right)^2} – 16)
(= left( {x + 2y – 4} right)left( {x + 2y + 4} right).)
Bài 2. Điều kiện: (x ne 0;x ne pm {1 over 3}.)
({{2x + 6} over {3{x^2} – x}}:{{{x^2} + 3x} over {1 – 3x}} = {{2left( {x + 3} right)} over {xleft( {3x – 1} right)}}.{{1 – 3x} over {xleft( {x + 3} right)}} = {{ – 2left( {3x – 1} right)} over {xleft( {3x – 1} right)}} = – {2 over x}.)
Bài 3. a)Điều kiện: (4{x^2} – 4x + 1 ne 0) hay ({left( {2x – 1} right)^2} ne 0) hay (2x – 1 ne 0)
Vậy (x ne {1 over 2}.)
b) Ta có: (P = {{{{left( {2x – 1} right)}^3}} over {{{left( {2x – 1} right)}^2}}} = 2x – 1.)
Vậy với mọi (x in Z Rightarrow 2x – 1 in Z) hay (x in Z)
Bài 4. Điều kiện: (x ne pm 6;x ne 0.) Biến đổi vế trái (VT), ta được:
(VT = {{{x^2} – {{left( {x – 6} right)}^2}} over {xleft( {{x^2} – 36} right)}}:{{2left( {x – 3} right)} over {xleft( {x + 6} right)}} + {x over {6 – x}} = {{12x – 36} over {xleft( {{x^2} – 36} right)}}.{{xleft( {x + 6} right)} over {2left( {x – 3} right)}} + {x over {6 – x}})
( = {{12left( {x – 3} right)} over {2left( {x – 6} right)left( {x – 3} right)}} + {x over {6 – x}} = {6 over {x – 6}} – {x over {x – 6}} = {{6 – x} over {x – 6}} = – 1) (đpcm)
Bài 5.
Ta có: (MN = {{AB + CD} over 2} Rightarrow 2MN = AB + CD)
( Rightarrow CD = 2MN – AB = 2.9 – 7 = 11left( {cm} right))
Lại có: ({S_{ABCD}} = {{left( {AB + CD} right)AH} over 2})
( Rightarrow 2{S_{ABCD}} = left( {AB + CD} right).AH)
( Rightarrow AH = {{2{S_{ABCD}}} over {AB + CD}} = {{2.45} over {7 + 11}} = 5left( {cm} right))
Bài 6.
a) Ta có AMIN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
b) (Delta ABC) vuông có AI là trung tuyến nên (AI = IC = {1 over 2}BC)
Do đó (Delta AIC) cân có đường cao IN đồng thời là trung tuyến
( Rightarrow NA = NC.)
Lại có: ND = NI (t/c đối xứng) nên ADCI là hình bình hành có (AC bot ID) (gt). Do đó ADCI là hình thoi.
c) Ta có: (A{B^2} = B{C^2} – A{C^2}) (định lý Py – ta – go)
( = {25^2} – {20^2} Rightarrow AB = sqrt {225} = 15left( {cm} right))
Vậy ({S_{ABC}} = {1 over 2}AB.AC = {1 over 2}.15.20 = 150left( {c{m^2}} right)) .
d) Kẻ (IHparallel BK) ta có IH là đường trung bình của (Delta BKC)
( Rightarrow H) là trung điểm của CK hay KH = HC (1)
Xét (Delta DIH) có N là trung điểm của DI, (NKparallel IHleft( {BKparallel IH} right).)
Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH (2)
Từ (1) và (2) ( Rightarrow DK = KH = HC Rightarrow {{DK} over {DC}} = {1 over 3}.)