Ma trận nghịch đảo là một loại ma trận đặc biệt được sử dụng trong toán học và các lĩnh vực liên quan. Nó được tính toán từ một ma trận ban đầu và có thể được sử dụng để giải các phương trình hệ ma trận hoặc để tính toán các khảo sát của ma trận ban đầu. Cùng We Escape tìm hiểu xem ma trận nghịch đảo là gì? công thức tìm ma trận nghịch đảo? Bài tập thực hành phần phụ đại số mới nhất bên dưới.
Ma trận nghịch đảo là gì?
Ma trận nghịch đảo là gì? : Cho ma trận A vuông cấp n. Ta nói ma trận A là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = En . Khi đó, B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A-1.
Ma trận không có dấu phân số nên bạn cần sử dụng ma trận nghịch đảo để đơn giản hóa phép toán phức tạp này. Có hai cách tính ma trận nghịch đảo là tính tay và dùng máy tính giúp cho kết quả chính xác hơn.
Tính chất ma trận nghịch đảo
Cách tính ma trận nghịch đảo
Dưới đây là hướng dẫn cách tính ma trận nghịch đảo mới nhất hãy tham khảo nhé
Ma trận nghịch đảo 2×2
Cách tính ma trận nghịch đảo 2×2 theo phương pháp sử dụng ma trận phụ hợp (phép khử Gauss-Jordan) thực hiện như sau:
Ví dụ:
Ma trận nghịch đảo 3×3
Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách tạo ma trận bổ sung:
- Bước 1: Kiểm tra định thức của ma trận, ký hiệu là det(A). Nếu det(A)=0 thì A không có ma trận nghịch đảo A-1Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận A-1, chuyển sang bước 2Bước 2: Chuyển vị ma trận gốc tức là đổi vị trí của phần tử thứ (i,j) và chỗ của phần tử (j,i) với nhau.
- Bước 3: Tìm định thức của từng ma trận con 2×2 liên kết với ma trận chuyển vị 3×3 mới.
- Bước 4: Tạo ma trận các phần phụ đại số, ký hiệu là Adj(M).
- Bước 5: Thực hiện phép chia của toàn bộ các phần tử của ma trận bổ sung với định thức của ma trận là det(M).
Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giảm hàng tuyến tính
- Bước 1: Thực hiện thêm ma trận đơn vị vào trong ma trận gốc
- Bước 2: Tiến hành phép giảm hàng tuyến tính và thực hiện đến khi ma trận đơn vị được hình thành
- Bước 3: Viết lại ma trận nghịch đảo cho chuẩn xác
Ma trận nghịch đảo 4×4
a) Đối với ma trận 4×4 thì cách tính được áp dụng phổ biến hơn cả là phương pháp dùng các phép biến đổi sơ cấp
Cụ thể như sau:
Nếu det(A)≠0 ta tính A-1 bằng các rút gọn ma trận -> < In : A-1> với I là ma trận đơn vị.
b) Dùng định lý Haminton-Cayley
+ Đa thức đặc trưng của ma trận Anxn= là: f (x) = det(xI – A)
Tổng quát: Tính đa thức đặc trưng của ma trận A là f(x) bằng công thức Bocher như sau:
Đặt Sp= tr(Ap) với tr(Ap) = tổng phần tử trên đường chéo chính của Ap
Trường hợp riêng
c) Định lý Cayley-Hamilton
Nếu f(x) là đa thức đặc trưng của ma trận vuông A thì f(A)=0
Giả sử cho A khả đảo (det(A)≠0) có đa thức đặc trưng f(x)= xn + a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an thì An + a1An-1 + a2An-2 +…+ an-1A + an= O và an=(-1)n det(A) ≠0, ta nhân 2 vế cho A-1 được:
Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng máy tính Fx570ES Plus
Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng máy tính bỏ túi được thực hiện theo quy trình nhất định. Các bước thực hiện chung cụ thể:
- Chọn máy tính có hỗ trợ chức năng giải ma trận
- Tiến hành nhập ma trận vào trong máy
- Chọn thực đơn con và tên cho ma trận
- Nhập kích thước và từng phần tử của ma trận
- Thoát chức năng ma trận
- Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng phím nghịch đảo của máy
- Viết lại ma trận nghịch đảo chuẩn xác
Bài tập ma trận nghịch đảo
Bài 1: Cho ma trận A sau và tìm ma trận nghịch đảo của A
Giải
detA=(1.3.2+1.2.3+.1.2.3)-(3.3.3+1.1.1+2.2.2)=18-34 = -18 ≠0
Viết công thức và thực hiện đan dấu như hình dưới:
Đối với phần tử a11 ta loại bỏ hàng 1 và cột 1 của ma trận A
Sau khi loại bỏ ta được như hình dưới
Đối với a12 thì loại bỏ hàng 1 cột 2
Tương tự đối với các phần tử còn lại ta được:
Tính định thức ta được:
Chuyển vị và ta được kết quả cuối cùng:
Bài 2: Tìm X
Giải
Ta có: A.X=B ⇒ X=A-1.B
det A = (1.-1.0+0.5.3+-2.2.1)-(2.-1.3+1.1.5+0.0.-2)= -3≠0
Chúng tôi có tham khảo nguồn tại:
- https://vi.wikipedia.org/wiki/Ma_tr%E1%BA%ADn_kh%E1%BA%A3_ngh%E1%BB%8Bch
- https://vi.wikipedia.org/wiki/Ma_tr%E1%BA%ADn_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)