Thể tích hình trụ là phần kiến thức hình học lớp 12 rất quan trọng. Bạn muốn tìm hiểu rõ về công thức, cách tính cùng bài tập cụ thể hãy đọc ngay bài viết dưới đây. Những thông tin chi tiết sẽ được chuyên trang cập nhật và phân tích chi tiết.
1. Khái niệm cần nhớ
Trước khi tìm hiểu cách tính thể tích hình trụ chúng ta đi vào các khái niệm về mặt trụ, hình trụ, khối trụ. Cụ thể như sau:
1.1 – Mặt trụ
Mặt trụ được hiểu là hình tròn xoay sinh ra bởi đường thẳng I khi xoay quanh đường thẳng Δ song song. Bên cạnh đó, Δ cách một khoảng R, Δ gọi là trục, R chính là bán kính, I là đường sinh.
Ngoài ra, còn có định nghĩa khác nói về mặt trụ là tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng Δ cố định một khoảng R không đổi.
1.2 – Hình trụ
Hình trụ sẽ được giới hạn bởi mặt trụ và hai đường tròn bằng nhau. Đồng thời, chúng là giao tuyến của mặt trụ và hai mặt phẳng vuông góc với trục.
Mặt khác, hình trụ chính là hình tròn xoay khi sinh bởi bốn cạnh của một hình chữ nhật khi quay quanh một đường trung bình của hình chữ nhật đó.
1.3 – Khối trụ
Khối trụ chính là hình trụ cùng phần bên trong của hình trụ đó. Thể tích của khối trụ là tượng không gian mà hình trụ sẽ chiếm.
Để nắm vững những kiến thức tính thể tích hình trụ và cách dễ dàng đạt điểm 8+ môn Toán. Bạn hãy bấm vào tìm hiểu ngay khóa học: Nhẹ Nhàng Chạm Mốc 8+ Toán 12. Đồng hành cùng bạn là Thầy Thế có hơn 9 năm kinh nghiệm giảng dạy và Ôn thi Đại Học. Hơn 400.000 người theo dõi trên các kênh Facebook, Tiktok, Youtube. Đặc biệt, nhà Kiến gửi tặng bạn ƯU ĐÃI 50% HỌC PHÍ khi đăng ký ngay hôm nay!
2. Công thức tính thể tích hình trụ
Công thức tính thể tích hình trụ áp dụng ngay kiến thức như sau:
V = π.r2.h
Trong đó:
- Thể tích của hình trụ là V, đơn vị tính là mét khối (m3).
- Bán kính hình tròn đáy mặt trụ là r.
- Chiều cao của hình trụ là h.
- Hằng số là π có giá trị là 3,14.
Như vậy, muốn tính thể tích hình trụ ta lấy chiều cao nhân với bình phương độ dài bán kính hình tròn mắt đáy và số pi.
2.1 – Tính diện tích xung quanh hình trụ
Diện tích hình trụ được hiểu là toàn bộ không gian chiếm giữ bằng cách tính tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy. Bên cạnh đó, diện tích toàn phần hình trụ sẽ là diện tích của mặt xung quanh hình trụ không bao gồm diện tích hai đáy.
Ta xét đến diện tích xung quanh hình trụ tròn chỉ bao gồm diện tích mặt xung quanh, bao quanh hình trụ tròn và không gồm diện tích hai đáy. Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ bằng chu vi đường tròn đáy nhân với chiều cao:
Sxung quanh = 2 x π x r x h
Trong đó:
- r được hiểu là bán kính hình trụ.
- h chính là chiều cao nối từ đáy tới đỉnh trụ.
2.2 – Tính chiều cao hình trụ khi biết diện tích xung quanh
Chiều cao của hình trụ chính là khoảng cách của hai đáy mặt bên. Công thức tính khi biết diện tích xung quanh như sau:
Ta có: Sxung quanh = 2 x π x r x h
Từ đó suy ra được h =
3. Một số ví dụ cụ thể
Muốn củng cố kiến thức về thể tích hình trụ đứng chúng ta cần đi vào bài tập cụ thể. Dưới đây là những ví dụ được chuyên trang tổng hợp từ nhiều nguồn khác nhau. Qua đó, các em học sinh cùng quý thầy cô có thể tham khảo ngay.
3.1. Ví dụ 1
Yêu cầu tính thể tích của hình trụ biết rằng bán kính hai mặt đáy bằng 7,1cm; chiều cao là 5cm.
Lời giải:
Ta có công thức tính thể tích hình trụ tròn: V = π.r2.h
Với dữ kiện đề bài đã cho ta có thể tính được thể tích của hình trụ là: 3.14 x (7,1)² x 5 = 791,437 (cm³).
3.2. Ví dụ 2
Yêu cầu tính thể tích của hình trụ biết rằng hình trụ đó có diện tích xung quanh là 20π cm2 và 28πcm2.
Lời giải:
Ta có công thức tính diện tích toàn phần hình trụ là: Stp = Sxq + Sđ = 2πrh + 2πr²
- 2πr² = 28π – 20π = 8π
Thực hiện biến đổi ta thấy r sẽ bằng 2cm.
Bên cạnh đó, diện tích xung quanh hình trụ có thể tính là Sxq = 2πrh
<=> 20π = 2π.2.h <=> h = 5cm
Với các dữ kiện về bán kính hình tròn đáy mặt trụ và chiều cao đã có đầy đủ ta có thể tính được thể tích hình trụ là V = πr²h = π.22.5 = 20π cm³.
3.3. Ví dụ 3
Yêu cầu tính chiều cao và thể tích của hình trụ biết rằng một hình trụ có chu vi đáy là 20cm. Đồng thời, diện tích xung quanh của hình trụ là 14cm2.
Lời giải:
Ta có chu vi đáy của hình trụ cũng là chu vi của hình tròn = 2rπ = 20 cm.
Tiếp đến, diện tích xung quanh của hình trụ: Sxung quanh = 2πrh= 20 x h = 14 Suy ra, h = 14/20 = 0,7 (cm)
2rπ = 20 => r ~ 3,18 cm
Bên cạnh đó, công thức tính thể tích của hình trụ là: V = π r² x h ~ 219,91 cm³.
Như vậy, chiều cao của hình trụ là 0,7 (cm) và thể tích của hình trụ là 219,91 cm³.
3.4. Ví dụ 4
Yêu cầu tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình trụ. Biết rằng một hình trụ có bán kính đáy r = 7cm, chiều cao h là 9cm.
Lời giải:
- Ta có công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là : Sxung quanh = 2πrh = 2π.7.9 = 70π
- Bên cạnh đó ta có thể tính được diện tích toàn phần của hình trụ qua công thức 2πrh + 2πr2: Stoàn phần = 70π+2π.52 = 120π.
- Áp dụng ngay công thức V= πr2h để tính thể tích khối trụ.= 2π.52.7 = 350π
3.5. Ví dụ 5
- Yêu cầu tính chiều cao của (T) biết rằng hình trụ (T) có diện tích toàn phần là 120π (cm2) và bán kính đáy r bằng 6cm.
- Yêu cầu tính độ dài đường sinh của hình trụ ( T)biết rằng hình trụ (T) có thể tích bằng 81π (cm3) và đường sinh gấp 3 lần bán kính đáy (r).
Lời giải:
- Ta có công thức tính diện tích toàn phần là 2πrh + 2πr2. Căn cứ vào dữ kiện đã cho ở đề bài chúng ta dễ dàng tính được như sau:
Stoàn phần = 2π.6.h + 2π.62 = 120π.
⇒ Từ đó ta dễ dàng suy ra được chiều cao của hình trụ (T) là h = 4(cm).
- Ta biết rằng bán kính đáy của hình trụ là r. Theo đề bài cho biết, đường sinh gấp 3 lần bán kính đáy và đường sinh của hình trụ bằng chiều cao nên chiều cao của hình trụ sẽ là 3r.
Ta có công thức tính thể tích của hình trụ là πr2 h, thay vào các dữ kiện đã có ta được: V = πr2.3r = 81π ⇒ r = 3.
Tiếp đến ta tính được độ dài của đường sinh là 3 x 3 = 9cm.
3.6. Ví dụ 6
Nếu tăng bán kính đường tròn đáy (r) lên hai lần thì thể tích khối trụ mới sẽ là bao nhiêu? Biết rằng, khối trụ có thể tích là 24π.
Lời giải:
Căn cứ vào dữ kiện đã cho ở đề bài ta có V = πr2h = 24π.
Khi ta tiến hành tăng bán kính đường tròn đáy lên gấp hai lần thì thể tích khối trụ mới sẽ là:
Nếu tăng bán kính đường tròn đáy lên 2 lần thì ta có:
V’= π(2r)2 h = 4πr2h = 4.24π = 96π.
3.7. Ví dụ 7
Cho hình chữ nhật với các cạnh là ABCD và cạnh AB =1, BC = 3. Bên cạnh đó, đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (ABCD) và song song với cạnh AD, cạnh AD cách một khoảng bằng 2. Biết rằng đồ thị không có điểm chung với hình chữ nhật ABCD. Yêu cầu tính thể tích khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh đường thẳng d.
Lời giải:
Theo dữ kiện đề bài đã cho ta biết được cạnh BC cách đường d một khoảng d’ = 2+ AB = 3.
Vì thế, khối tròn xoay chính là tập hợp của các điểm nằm ở giữa hai hình trụ. Bán kính lần lượt là 2 và 3, chiều cao của hai hình trụ đó đều là 3.
Ta có thể tích của khối tròn xoay bằng hiệu thể tích của hai khối trụ nêu trên. Chúng ta sẽ tính được như sau: V = 32.3.π – 22.3.π = 15π.
=>> Xem thêm nội dung liên quan:
Trên đây là những kiến thức lý thuyết cùng bài tập có đáp án về thể tích hình trụ. Hi vọng bạn đã tìm thấy nhiều thông tin hữu ích giúp học phân môn Hình học 12 được tốt hơn.
Đăng kí ngay tại đây =>> Kiến Guru<<= để nhận khóa học chất lượng giúp trẻ phát triển tư trong học tập tốt hơn