Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài toán bằng cách lập phương trình trong chương trình Toán lớp 9. Ngoài ra, tôi sẽ hướng dẫn các bạn giải theo dạng các bài toán bằng cách lập phương trình về chuyển động, hình học, năng suất, tính tuổi, thêm bớt số.
>>> Ôn thi vào lớp 10 môn Toán theo chuyên đề
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Khó khăn bạn thường gặp phải khi giải bài toán bằng cách lập phương trình là bước 1. Bạn không biết biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo các đại lượng đã biết khác.
Để giúp bạn vượt qua khó khăn đó, tôi sẽ chia bài toán thành 4 dạng cơ bản hay gặp. Tuỳ theo từng dạng bài mà ta xác định được các đại lượng có trong bài, các công thức biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng ấy và phân tích đề bài.
Xem thêm:
- Các bài giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình trong đề thi tuyển sinh vào 10
Cách giải các dạng bài toán bằng cách lập phương trình – Toán 9
Dạng 1: Bài toán chuyển động
Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (chuyển động trên đường bộ cùng chiều):
Bài 47 (SGK Toán 9 tập 2 – trang 59)
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Đọc hiểu đề bài để lập phương trình
Đại lượng đã cho là quãng đường AB dài 30 km.
Ta cần xác định đại lượng cần tìm là vận tốc mỗi xe. Vậy ta gọi ẩn x (km/h) là vận tốc xe của bác Hiệp. Điều kiện x > 0.
Vận tốc xe bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe cô Liên là 3 km/h. Ta biểu diễn được vận tốc của cô Liên theo x là x – 3 (km/h)
Ta có thể lập bảng sau:
Mối liên hệ: Hai người cùng khởi hành một lúc và bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Dựa vào đây, ta có thể viết được phương trình.
Vì cô Liên đến sau bác Hiệp nên thời gian cô Liên đi đến B sẽ lớn hơn thời gian bác Hiệp đi đến B. Vận tốc càng lớn thì thời gian càng ít đi.
Bước 2: Giải phương trình
Giải phương trình bậc hai trên, ta nhận được kết quả x = 15 hoặc x = -12.
Có thể bạn cần xem Cách giải phương trình bậc hai nếu quên cách giải.
Bước 3: Kết luận
Ta thấy chỉ có x = 15 > 0 thoả mãn điều kiện của đề bài.
Vậy vận tốc của bác Hiệp là 15 km/h.
Vận tốc của cô Liên là x – 3 = 15 – 3 = 12 km/h.
Đó là bài toán hai xe đi cùng chiều, còn nếu hai xe đi ngược chiều nhau thì sao?
Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (chuyển động trên đường bộ ngược chiều):
Bài 65 (SGK Toán 9 tập 2 – trang 64)
Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900 km.
Hướng dẫn giải:
Gọi vận tốc xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn là x (km/h) (x > 0).
Vận tốc xe lửa thứ hai đi từ Bình Sơn ra Hà Nội lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h nên ta có vận tốc xe lửa thứ hai là x + 5 (km/h).
Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường nên mỗi xe lửa đi được 900 : 2 = 450 (km).
Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp là: (h)
Thời gian xe lửa thứ hai đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp là: (h)
Mà xe lửa thứ nhất xuất phát sớm hơn xe thứ hai 1 giờ, nên ta có phương trình:
Giải phương trình trên ta được x = 45 >0 (thoả mãn) hoặc x= -50 < 0 (loại).
Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là 45 km/h, vận tốc xe lửa thứ hai là 45 + 5 = 50 km/h.
Trên đây là hai bài toán trên đường bộ, còn giải bài toán bằng cách lập phương trình trong chuyển động trong dòng chảy thì như thế nào?
Ví dụ 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (chuyển động trong dòng chảy)
Bài 52 (SGK Toán 9 tập 2 – trang 60)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một ca nô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h.
Hướng dẫn giải:
Giả sử hướng đi từ bến A đến B là xuôi dòng.
Gọi vận tốc của ca nô trong nước im lặng là x (km/h) (x > 3).
Ta có vận tốc ca nô đi từ A đến B (xuôi dòng) là x + 3 (km/h)
Vận tốc ca nô đi từ B về A (ngược dòng) là x – 3 (km/h)
Thời gian ca nô đi từ A đến B là (h)
Thời gian ca nô đi từ B về A là (h)
Thời gian ca nô nghỉ tại B là 40 phút = giờ = (h)
Mà kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ, nên ta có phương trình:
Có a = 4; b = – 45, c = – 36
∆ = ( – 45)2 – 4.4.(- 36)= 2601 > 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm là: x = 12 (thoả mãn) hoặc x = -3/4 (loại)
Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một xe máy đi từ A đến B cách nhau 40 km với vận tốc dự định. Thực tế trên nửa quãng đường đầu xe máy đi với vận tốc nhỏ hơn dự định 6 km/h. Trên nửa quãng đường còn lại xe máy đi với vận tốc lớn hơn dự định 12 km/h nên xe máy đến B đúng thời gian đã định. Tìm vận tốc dự định của xe máy.
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60 km. Sau đó 1 giờ người khác đi xe máy tử A đến B và đến sớm hơn người đi xe đạp 1 giờ 40 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp.
Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc, một chiếc canô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3 km/h. Sau đi đến B, canô quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách B là 32 km. Tính vận tốc của canô.
Xem thêm:
>>> Giải Phương Trình Và Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
>>> Giải phương trình bậc hai một ẩn
>>> Bài toán về hàm số và đồ thị
Dạng 2: Bài toán về năng suất
Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (về số)
Bài 45 ( SGK Toán 9 tập hai – trang 59)
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.
Hướng dẫn giải:
Gọi số bé là x (x ∈ N, x > 0)
Số lớn là x + 1 (vì hai số liên tiếp nhau)
Tổng hai số là
Tích hai số là
Vì tích hai số lớn hơn tổng hai số là 109 nên ta có phương trình:
Giải phương trình bậc hai trên ta có hai nghiệm: x = 11 (thoả mãn) hoặc x = -10 < 0 (loại).
Vậy số bé là 11 và số lớn là 12.
Ví dụ 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (về chữ số)
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 9. Nếu viết thêm chữ số 0 xen vào giữa hai chữ số của nó thì được một số mới gấp 9 lần số ban đầu.
Hướng dẫn giải:
Gọi chữ số hàng chục là x ( )
Chữ số hàng đơn vị là 9 – x.
Xen chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được số mới là 100x + 9 – x.
Số mới gấp 9 lần số ban đầu nên ta có phương trình:
Vậy chữ số hàng chục là 4, chữ số hàng đơn vị là 9 – 4 = 5.
Vậy số cần tìm là 45.
>>> Học Toán online với giáo viên Toán liên hệ: 035 3150072
Dạng 4: Bài toán hình học
Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (hình học)
Bài ?1 (SGK Toán 9 tập 2 – trang 58)
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài 4 m và diện tích bằng 320 mét vuông. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.
Huớng dẫn giải:
Gọi chiều dài của mảnh đất là x (m) ( x > 0).
Chiều rộng của mảnh đất là x – 4 (m)
Ta viết được phương trình là:
Giải phương trình bậc hai, ta được x = 20 (thoả mãn) hoặc x = – 16 (loại)
Vậy chiều dài của mảnh đất là 20 m và chiều rộng của mảnh đất là 16 m.
Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (hình học)
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 180 m. Nếu giảm chiều dài đi 20% và tăng chiều rộng thêm 20 m thì diện tích mới bằng 6/5 diện tích cũ. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
Hướng dẫn giải:
Gọi chiều dài khu vườn là x (m) (x > 0)
Nửa chu vi khu vườn là 180 : 2 = 90 nên tổng chiều dài và chiều rộng là 90, ta có chiều rộng là 90 – x.
Giảm chiều dài đi 20%, ta có chiều dài mới là 80%x = 4/5x
Tăng chiều rộng thêm 20 m, ta có chiều rộng mới là 90 – x + 20 = 110 – x
Diện tích mới là :
Diện tích cũ là
Diện tích mới bằng 6/5 diện tích cũ nên ta có phương trình:
Giải phương trình ta có nghiệm x = 0 (loại) hoặc x = 50 (thoả mãn).
Vậy chiều dài khu vườn là 50 m, chiều rộng là 40 m.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một hình chữ nhật có diện tích bằng 120 mét vuông. Nếu tăng chiều rộng thêm 2 m đồng thời giảm chiều dài đi 5 m, thì thu được một hình vuông. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu theo mét.
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 80 mét vuông. Nếu giảm chiều rộng 3m và tăng chiều dài 10m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 20 mét vuông. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.
Thảm khảo các bài tập:
Bài 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Cho một tam giác vuông. Nếu ta tăng độ dài mỗi cạnh góc vuông thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 33 cm vuông; nếu giảm độ dài một cạnh góc vuông đi 2 cm và tăng độ dài cạnh góc còn lại thêm 1 cm thì diện tích giảm 2 cm vuông. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác vuông.
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa. Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho.
Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi bằng 198 m , diện tích bằng 2430 mét vuông. Tính chiều dài và chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật đã cho.
Tham khảo thêm bài tập
———————————————————————————————————————————-
Tóm tắt Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1: Đọc hiểu đề bài để lập phương trình
- Xác định đại lượng cần tìm, đại lượng đã cho, mối quan hệ giữa các đại lượng
- Chọn ẩn phù hợp, đặt điều kiện cho ẩn số
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Kiểm tra và kết luận
- Kiểm tra nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn
- Trả lời câu hỏi của đề bài
Như vậy, tôi đã hướng dẫn bạn các bước để giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Nhớ rằng, bước 1 là cực kì quan trọng, bạn phải phân tích đề bài để tìm ra cách lập phương trình.
Bước 2 bạn cần phải nắm được cách giải phương trình bậc nhất, cách giải phương trình bậc hai thật chính xác. Nếu kết quả nghiệm quá lẻ hoặc vô nghiệm thì bạn cần xem lại bài giải.
Bước 3 bạn đối chiếu kết quả với điều kiện rồi đưa ra kết luận là xong.
Hãy làm đầy đủ 3 bước như vậy, bạn sẽ ăn điểm trọn vẹn cho phần giải bài toán bằng cách lập phương trình trong bài kiểm tra toán 9, cũng như bài thi vào lớp 10 sau này.
Xem thêm:
>>>Các bài giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình trong đề thi tuyển sinh vào 10 (kèm đáp án)
>>>Các bài hình học lớp 9 chứng minh các hệ thức hình học (hướng dẫn chi tiết cách giải)
>>> Học Toán online với giáo viên Toán liên hệ: 035 3150072
Luyện tập Giải toán bằng cách lập phương trình
Làm bài test tại đây!
Tự tin và cố gắng lên nhé!
Nếu bạn có thắc mắc thì hãy nhắn tin bên dưới nhé!
Chúc bạn học tốt!
Xem thêm các bài liên quan: