Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm đến mặt phẳng, từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách 2 điểm,… được sử dụng phổ biến trong hình học không gian. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn tổng hợp tất cả các công thức tính khoảng cách thông dụng hiện nay. Hãy lưu lại các công thức và áp dụng ngay nhé!
Khái niệm công thức tính khoảng cách
Trong khoa học, công thức là một hình thức trình bày thông tin chính xác dưới dạng các biểu tượng. Theo đó công thức tính khoảng cách là tập hợp những cách thức dùng để tính khoảng cách từ vị trí này đến vị trí khác. Ví dụ tính khoảng cách giữa hai điểm hoặc khoảng cách giữa hai mặt phẳng.Bạn đang xem: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng
Công thức tính khoảng cách thường được ứng dụng nhiều ở trong hình học phẳng và hình học không gian. Có nhiều dạng công thức tính khoảng cách khác nhau, học sinh có thể linh hoạt áp dụng công thức phù hợp để giải bài tập cho ra đáp án đúng.
Các công thức tính khoảng cách
Sau đây là tổng hợp những công thức tính khoảng cách được sử dụng nhiều nhất. Bạn còn chờ đợi gì mà không lưu lại ngay để việc tính toán trở nên đơn giản và dễ dàng hơn bao giờ hết.
Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Κhοảng cách từ 1 điểm A đến mặt phẳng (P) được định nghĩa là khοảng cách từ điểm A đến hình chiếu (vuông góc) của nó trên (P). Ký hiệu là d(M,(P)). Như vậy để tính khοảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) ta cần tìm hình chiếu của điểm đó trên mặt phẳng (P). Tuy nhiên, các bạn sẽ tính được khoảng cách dễ dàng hơn nếu áp dụng công thức sau:
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(α;β;γ) cùng mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0. Theo đó, ta có công thức khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0 đã cho là:
Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm N (x0; y0). Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng d là d(N; d).
Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d nêu ở ví dụ trên chưa viết dưới dạng tổng quát. Trước khi áp dụng công thức, đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát y=ax+b
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Trong không gian hai đường thẳng có 4 vị trí tương đối là: trùng nhau; Song song; Chéo nhau và cắt nhau. Trường hợp 2 đường thẳng trùng nhau hoặc cắt nhau đều có thể xem khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Tuy nhiên, nếu 2 đường thẳng song song, chéo nhau, chúng ta vẫn có thể tính khoảng cách giữa chúng. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng sẽ bằng khoảng cách từ điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm
Tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kì chính là tìm ra độ dài đoạn thẳng nối liền 2 điểm đã được cho trước (hoặc đã xác định trước). Tuy nhiên bạn cần lưu ý rằng, khoảng cách (độ dài nối liền) giữa 2 điểm bất kỳ không phải là độ dài đường thẳng và cũng không phải độ dài đoạn thẳng vuông góc nào khác.Dựa trên các cơ sở trên, chúng ta sẽ có công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ như sau:
Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Chúng ta sẽ dễ dàng tính được khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song khi biết trước phương trình của 2 mặt phẳng đó. Sau đây là công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Công thức tính khoảng cách trong không gian sẽ rất dễ áp dụng nếu bạn hiểu bản chất vấn đề. Nhìn chung chỉ có một số công thức nhất định, từ gợi ý ban đầu bạn có thể giải ra ngay đáp án.
Các bài tập tính khoảng cách cơ bản có lời giải
Trên đây là 5 công thức tính khoảng cách quan trọng trong toán học. Để có thể ghi nhớ và áp dụng thành thạo, bạn hãy thực hành giải ngay một số bài tập cơ bản dưới đây.
Bài tập 1
Trong không gian Oxyz, có hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là(α): x – 2y + z + 1 = 0(β): x – 2y + z + 3 = 0.Yêu cầu hãy tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (α) và (β)?Hướng dẫn:
Bài tập 2
Hai mặt phẳng (α) // (β), cách nhau 3 cm. Ta đã biết phương trình của mỗi mặt phẳng lần lượt là(α): 2x – 5y – 3z + 1 = 0(β): ax + by + cz + d2 = 0Yêu cầu hãy xác định các hệ số a, b, c của phương trình mặt phẳng (β).Hướng dẫn:
Bài tập 3
Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 điểm lần lượt có tọa độ là A (3; 5) và điểm B (2; 7). Hãy xác định độ dài đoạn thẳng AB trong mặt phẳng tọa độ Oxy đã cho. Khi đó ta có độ dài nối liền 2 điểm A và B chính là khoảng cách giữa 2 điểm A và B.Hướng dẫn:
Tin chắc bài viết trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn và biết được công thức tính khoảng cách giữa các điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng qua bài viết này bạn sẽ nhớ chính xác công thức, biết cách áp dụng thành thạo hơn khi giải bài tập. Chúc bạn học thật tốt nhé!
Trong hình học mặt phẳng Oxy lớp 10 và hình học không gian Oxyz lớp 12 đều có dạng toán tìm khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Δ cho trước. Đây là dạng toán tương đối đơn giản, bạn chỉ cần nhớ chính xác công thức là làm tốt. Nếu bạn quên có thể xem lại lý thuyết bên dưới, đi kèm với nó là bài tập có lời giải chi tiết tương ứng
A. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng
Đây là kiến thức toán thuộc hình học lớp 10 khối THPT
1. Cơ sở lý thuyết
Giả sử phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là Δ: Ax + By + C = 0 và điểm N( x0; y0). Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là:
d(N; Δ) = $frac{{left| {A{x_0} + b{y_0} + c} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ (1)
Cho điểm M( xM; yN) và điểm N( xN; yN) . Khoảng cách hai điểm này là:
MN = $sqrt {{{left( {{x_M} – {x_N}} right)}^2} + {{left( {{y_M} – {y_N}} right)}^2}} $ (2)
Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.
2. Bài tập có lời giải
Bài tập 1. Cho một đường thẳng có phương trình có dạng Δ: – x + 3y + 1 = 0. Hãy tính khoảng cách từ điểm Q (2; 1) tới đường thẳng Δ.
Lời giải chi tiết
Khoảng cách từ điểm Q tới đường thẳng Δ được xác định theo công thức (1):
d(N; Δ) = $frac{{left| { – 1.2 + 3.1 + 1} right|}}{{sqrt {{{left( { – 1} right)}^2} + {3^2}} }} = frac{{sqrt {10} }}{5}$
Bài tập 2. Khoảng cách từ điểm P(1; 1) đến đường thẳng Δ: $frac{x}{3} – frac{y}{2} = 5$
Lời giải chi tiết
Ta đưa phương trình $frac{x}{3} – frac{y}{2} = 5$ 2x – 3y = 30 2x – 3y – 30 = 0 (*)
Phương trình (*) là dạng tổng quát.
Khoảng cách từ điểm P(1; 1) đến đường thẳng Δ dựa theo công thức (1). Thay số:
d(P; Δ) = $frac{{left| {2.1 + left( { – 3} right).1 – 30} right|}}{{sqrt {{2^2} + {{left( { – 3} right)}^2}} }}$ = 8,6
Bài tập 3. Khoảng cách từ điểm P(1; 3) đến đường thẳng Δ: $left{ begin{array}{l} x = 2t + 3\ y = 3t + 1 end{array} right.$
Lời giải chi tiết
Xét phương trình đường thẳng Δ, thấy:
Đường thẳng Δ đi qua điểm Q( 3; 1)Vecto chỉ phương là $overrightarrow u $ = ( 2; 3 ) nên vecto pháp tuyến là $overrightarrow n $ = ( 3; – 2 )
Phương trình Δ đưa về dạng tổng quát: 3(x – 3) – 2(y – 1) = 0 3x – 2y – 7 = 0
Khoảng cách từ điểm P(1; 3) đến đường thẳng Δ: d(P; Δ) = $frac{{left| {3.1 + left( { – 2} right).3 – 7} right|}}{{sqrt {{3^2} + {{left( { – 2} right)}^2}} }}$ = 2,77
B. Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz
Đây là kiến thức hình học không gian thuộc toán học lớp 12 khối THPT:
1. Cơ sở lý thuyết
Giả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và điểm N( xN; yN; zN). Hãy xác định khoảng cách từ N tới Δ?
Phương pháp
Bước 1. Tìm điểm M( x0; y0; z0) ∈ ΔBước 2: Tìm vecto chỉ phương ${overrightarrow u }$ của ΔBước 3: Vận dụng công thức d(N; Δ) = $frac{{left| {left< {overrightarrow {MN} ,overrightarrow u } right>} right|}}{{left| {overrightarrow u } right|}}$
2. Bài tập có lời giải
Bài tập 1. Một điểm A(1;1;1) không thuộc đường thẳng Δ: $frac{x}{1} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}$. Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Lời giải chi tiết
Từ phương trình đường thẳng Δ ta suy ra vecto chỉ phương: ${vec u_Delta }$ = (1;2;1)
Lấy điểm B( 0; 1; -1)∈ Δ => $overrightarrow {AB} $ = ( – 1;0; – 2) => $<overrightarrow {AB} ,vec u>$ = (4; – 1; – 2).
Khi này: d(A; Δ) = $frac{{left| {left< {overrightarrow {AB} ,vec u} right>} right|}}{{|vec u|}} = frac{{sqrt {14} }}{2}.$
Bài tập 2. Xét một hệ trục tọa độ Oxyz có đường thẳng Δ: $frac{x}{1} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}$ và 1 điểm có toạn độ A(1; 1; 1). Gọi M là điểm sao cho M ∈ Δ. Tìm giá trị nhỏ nhất của AM?
Lời giải chi tiết
Khoảng cách AM nhỏ nhất khi AM ⊥ Δ => $A{M_{min }} = d(A;Delta ).$
Đường thẳng Δ: $frac{x}{1} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}$ => vtcp ${vec u_Delta }$ = (1;2;1).
Lấy điểm B( 0; 1; -1)∈ Δ => $overrightarrow {AB} $ = ( – 1;0; – 2) => $<overrightarrow {AB} ,vec u>$ = (4; – 1; – 2).
Khi này ta áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d(A; Δ) = $frac{{left| {left< {overrightarrow {AB} ,vec u} right>} right|}}{{|vec u|}} = frac{{sqrt {14} }}{2}$$Rightarrow A{M_{min }} = frac{{sqrt {14} }}{2}.$
Bài tập 3. Một đường thằng Δ: $Delta :frac{x}{1} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}$ và hai điểm M( 1; 1; 1), N( 0 ; 1;-1) nằm trong không gian Oxyz. Giả sử hình chiếu của M xuống đường thẳng Δ là P. Hãy tính diện tích của tam giác MPB
Lời giải chi tiết
Từ phương trình đường thẳng Δ: $Delta :frac{x}{1} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}$ ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng có dạng ${vec u_Delta }$ = (1; 2; 1)
Chọn điểm Q ( 2; 5; 1) ∈ Δ => $overrightarrow {MQ} $ = (1; 4; 0) => $left< {overrightarrow {MQ} ,overrightarrow u } right>$ = (4; -1; – 2).Xem thêm: 2 cách làm thịt nướng lá mắc mật (mắc mật) nướng thơm ngon, thịt ba chỉ nướng lá mắc mật
Lúc đó: d(M; Δ) = $frac{{left| {left< {overrightarrow {MQ} ,vec u} right>} right|}}{{|vec u|}} = frac{{sqrt {14} }}{2}$
$ Rightarrow MP = frac{{sqrt {14} }}{2}.$
Ta lại thấy N ∈ Δ => ΔMNP vuông tại P => $sqrt {M{N^2} – M{P^2}} = frac{{sqrt 6 }}{2}$
Vậy $S = frac{1}{2}MP.PN = frac{{sqrt {21} }}{4}.$
Hy vọng rằng bài viết tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng này sẽ giúp ích cho bạn trong học tập cũng như thi cử. Đừng quên truy cập huets.edu.vn để có thể cập nhật cho mình thật nhiều tin tức hữu ích nhé.