Đường trung bình là đường có những tính chất vô cùng quan trọng trong môn toán. Đặc biệt là đường trung bình của tam giác của hình thang lại kéo theo nhiều tính chất khác nữa. Vậy cần lưu ý gì khi gặp đường trung bình trong các hình này. Hãy cùng lessonopoly tìm hiểu qua bài viết sau đây.
Lý thuyết đường trung bình của tam giác của hình thang
Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác; trong một tam giác có ba đường trung bình. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh thứ ba.
Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy của hình thang và có độ dài bằng một nửa tổng độ dài hai đáy.
Định lí đường trung bình của tam giác
– Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
– Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
– Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Đề bài minh hoạ:
Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB. Đường thẳng đi qua M song song với cạnh BC và cắt cạnh AC tại điểm N. Chứng minh NA=NC
Chứng minh định lý:
Từ M vẽ tia song song với AC, cắt BC tại F. Tứ giác MNCF có hai cạnh MN và FC song song nhau nên là hình thang. Hình thang MNCF có hai cạnh bên song song nhau nên hai cạnh bên đó bằng nhau (theo tính chất hình thang): MF = NC (1)
Xét hai tam giác BMF và MAN, có:
góc MBF = góc AMN (2 góc đồng vị)
BM = MA
góc MBF = góc MAN (2 góc đồng vị)
Suy ra: tam giác BMF = tam giác MAN (góc – cạnh – góc)
Từ đó suy ra MF = AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra: NA = NC
Chứng minh được định lí.
Định lí đường trung bình của hình thang
– Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai
– Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
– Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Cho hình thang ABCD. E là trung điểm cạnh AD. Qua A kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt cạnh BC tại F. Chứng minh F là trung điểm BC.
Chứng minh định lý: gọi H là giao điểm của AC và EF. Theo định lý 1 về đường trung bình trong tam giác, vì EH đi qua trung điểm AD và song song với DC nên H là trung điểm cạnh AC. Xét tương tự trong tam giác CAB, vì HF đi qua trung điểm AC và song song với AB nên F là trung điểm BC. Định lý được chứng minh.
Hãy cùng tham khảo video sau đây để hiểu hơn về đường trung bình của tam giác của hình thang nhé!
Các dạng toán về đường trung bình của tam giác của hình thang
Dạng 1: Dựa vào đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang, tính độ dài các cạnh
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 10cm, BC = 14cm. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. Tính độ dài các cạnh DE, DF và EF.
Lời giải:
+ Xét tam giác ABC có D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC
Suy ra DE là đường trung bình của tam giác ABC
+ Xét tam giác ABC có D là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC
Suy ra DF là đường trung bình của tam giác ABC
+ Xét tam giác ABC có E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BC
Suy ra EF là đường trung bình của tam giác ABC
Xem thêm: Tổng hợp về bảng đạo hàm cơ bản và đầy đủ nhất
Xem thêm: Phép vị tự là gì? Các dạng bài tập phép vị tự lớp 11
- Dạng 2: Chứng minh đường trung bình
Ví dụ: Cho tam giác ABC có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Chứng minh IJ là đường trung bình của tam giác ABC.
Lời giải:
Xét tam giác ABC có:
I là trung điểm của AB
J là trung điểm của BC
Suy ra IJ là đường trung bình của tam giác ABC (định lý) (đpcm)
- Dạng 3: Chứng minh các đường thẳng song song với nhau
Ví dụ: Cho tam giác ABC có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Chứng minh tứ giác AIJC là hình thang.
Lời giải:
+ Xét tam giác ABC có:
I là trung điểm của AB
J là trung điểm của BC
Suy ra IJ là đường trung bình của tam giác ABC (định lý)
Suy ra IJ // AC (định lý)
+ Xét tứ giác AIJC có: IJ // AC (cmt)
Suy ra tứ giác AIJC là hình thang (định nghĩa)
Bài tập về Đường trung bình của tam giác của hình thang
Bài tập sách giáo khoa
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 4 trang 76:
Vẽ tam giác ABC bất kì rồi lấy trung điểm D của AB. Qua D vẽ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt AC ở E. Bằng quan sát, hãy nêu dự đoán về vị trí của điểm E trên cạnh AC.
Lời giải
Dự đoán: E là trung điểm cạnh AC
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 4 trang 77:
Vẽ tam giác ABC bất kì rồi lấy trung điểm D của AB, trung điểm E của AC. Dùng thước đo góc và thước chia khoảng để kiểm tra rằng ∠(ADE) = ∠B và DE = 1/ 2 BC
Lời giải
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 4 trang 78:
Tính độ dài đoạn BC trên hình 33.
Dựa trên hình 33 SGK ta có:
BC = 2 DE
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 4 trang 78:
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Qua trung điểm E của AD kẻ đường thẳng song song với hai đáy, đường thẳng này cắt AC ở I, cắt BC ở F (h.37). Có nhận xét gì về vị trí của điểm I trên AC, điểm F trên BC ?
Lời giải
Áp dụng định lí 1 đường trung bình của tam giác
ΔADC có E là trung điểm AD và EI song song với cạnh DC
⇒ Điểm I là trung điểm AC
ΔABC có I là trung điểm AC và FI song song với cạnh AB
⇒ điểm F là trung điểm BC
Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Phát biểu nào sau đây sai?
- DE là đường trung bình của tam giác ABC.
- DE song song với BC.
- DECB là hình thang cân.
- DE có độ dài bằng nửa BC.
Hướng dẫn:
Xét tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC
⇒ DE là đương trung bình của tam giác ABC
Hay DE//BC và DE = 1/ 2 BC
+ Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh bằng nhau và hai cạnh bên bằng nhau nhưng bài toán này hai góc kề một cạnh đấy không bằng nhau
→ Đáp án C sai.
Chọn đáp án C.
Bài 2: Cho tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC và DE = 4cm. Biết đường cao AH = 6cm. Diện tích của tam giác ABC là?
- S = 24cm2 B. S = 16cm2 C. S = 48cm2 D. S = 32cm2
Hướng dẫn:
Xét tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC
⇒ DE là đương trung bình của tam giác ABC
Hay DE//BC và DE = 1/ 2 BC
⇒ BC = 2DE = 2.4 = 8cm
Khi đó ta có: S = 1/ 2 AH.BC = 1/ 2 6.8 = 24cm2
Chọn đáp án A.
Bài 3: Chọn phát biểu đúng
- Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh bên của hình thoi.
- Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối của hình thoi.
- Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng tổng hai hai đáy.
- Một hình thang có thể có một hoặc nhiều đường trung bình.
Hướng dẫn:
Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
→ Đáp án A đúng.
+ Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng của hai đáy.
+ Một hình thang thì chỉ có 1 đường trung bình duy nhất.
Chọn đáp án A.
Bài viết trên đã gửi đến bạn những kiến thức và bài tập liên quan đến đường trung bình của tam giác của hình thang. Hy vọng bài viết trên có thể giúp ích được cho bạn. Đường trung bình của tam giác là những kiến thức quan trọng được áp dụng nhiều trong các bài toán hình học nên các bạn hãy lưu ý nhé!