Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay
Với Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải
1. Công thức nhị thức Niu-tơn
Với a, b là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có :
Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton).
Quy ước: a0 = b0 = 1
Chú ý :
Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1)
+ Số các hạng tử là n + 1.
+ Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
+ Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
Hệ quả :
Các dạng khai triển cơ bản nhị thức Newton
2. Tam giác Pascal.
Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật sau :
– Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.
– ¬Nếu biết hàng thứ n ( n≥1) thì hàng thứ n+1tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.
Nhận xét :
3. Mở rộng của khai triển nhị thức Niu- tơn
Bước 1:Viết tam giác Pascal đến dòng thứ nđể có được hệ số của nhị thức Niuton (b+ c)n
Bước 2: Ở các đầu dòng ta viết các đơn thức là khai triển nhị thức Newton
Bước 3: Nhân lần lượt các đơn thức ở đầu dòng mỗi cột với các đơn thức còn lại trên mỗi dòng đó rồi cộng các kết quả lại, ta thu được kết quả khai triển.
Cụ thể ta có ở dưới đây
Chú ý 1:
Chú ý 2:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính hệ số x10y8 trong khai triển ( x + y)18?
A.43758 B.23145 C.45 D.12458
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
Theo công thức nhị thức Niu- tơn; hệ số chứa x10.y8 là:
Ví dụ 2: Tìm hệ số của x4 trong khai triển ( 2x- 5)7
A.175000 B.-70000 C.70000 D.-175000
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
Ta có: (2x – 5)7 = [ (2x + (-5)]7
Theo công thức nhị thức Niu-tơn; số hạng chứa x4 là:
Do đó hệ số của x4 là:
Ví dụ 3: Trong khai triển nhị thức (x + 1)n+9. Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:
A.10 B.17 C.9 D.12
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Chú ý: Số các số hạng của khai triển mũ n là n + 1.
Vậy khai triển (x+1)n+ 9 có tất cả 17 số hạng suy ra n + 9= 17 + 1.
⇔ n + 9= 18 nên n= 9
Ví dụ 4: Tìm hệ số chứa x9 trong khai triển
(1+x)9+(1+x)10+(1+x)11+(1+x)12+(1+x)13+(1+x)14+(1+x)15
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
+ Trong khai triển (1+x)9 thì số hạng chứa x9 là:
+ Tương tự hệ số chứa x9 trong các khai triển ( 1+x)10; ( 1+ x)11; ( 1+ x)12; …; ( 1+ x)15 là
Do đó; hệ số chứa x9 cần tìm là:
.
Ví dụ 5: Trong khai triển , hai số hạng cuối là:
.
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
Ta có:
là hai số hạng cuối cùng của khai triển
Ví dụ 6: Trong khai triển (2∛x+3√x )10,(x>0) số hạng chứa x4 sau khi khai triển là
A.1808640 B.1088640×4 C.1808460×4 D.207360
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
Ví dụ 7: Hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển (4/3-3×3)15 là
Hướng dẫn giải :
Đáp án : D
Ví dụ 8: Trong khai triển (1+ 3x)20 với số mũ tăng dần, hệ số của số hạng đứng chính giữa là:
Hướng dẫn giải :
Đáp án : D
Ví dụ 9: Nếu bốn số hạng đầu của một hàng trong tam giác Pascal được ghi lại là:
1 16 120 560
A. 1 32 360 1680
B. 1 18 123 564
C. 1 17 137 697
D. 1 17 136 680
Khi đó 4 số hạng đầu của hàng kế tiếp là:
Hướng dẫn giải :
Đáp án : D
4 số hạng tiếp theo của tam giác Pascal là:
1 1+16=17 16+120=126 120+560=680
Ví dụ 10: Tổng của số hạng thứ 4 trong khai triển (5a-1)5 và số hạng thứ 5 trong khai triển (2a- 3)6 là:
A.4160a2 B.-4160a2 C.4610a2 D.4620a2
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Ví dụ 11: Hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển P(x)=(3×2 + x + 1)10 là :
A.1695 B.1485 C.405 D.360
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
Ví dụ 12: Tìm số hạng chứa x13 trong khai triển thành các đa thức của (x + x2 + x3 )10 là :
A.180 B.210 C.210×13 D. 180×3
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
+ Với 0≤q≤p≤10 thì số hạng tổng quát của khai triển (x+x2+x3)10 là:
Ví dụ 13: Tìm hệ số chứa x10 trong khai triển (1+ x+ x2 + x3)5
A.98 B.84 C.101 D.121
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Số hạng không chứa x trong khai triển là
Lời giải:
Đáp án : B
Ta có số hạng thứ k+ 1 là :
Số hạng không chứa x tương ứng với: (60-5k)/6=0
⇔ 60 – 5k= 0 ⇔ k= 12.
Do vậy số hạng cần tìm là:
Câu 2: Trong khai triển ( x – y)11, hệ số của số hạng chứa x8y3 là:
Lời giải:
Đáp án : A
Câu 3: Trong khai triển nhị thức (2+ x)6 xét các khẳng định sau:
I. Gồm có 7 số hạng.
II. Số hạng thứ 3 là 16x.
III. Hệ số của x5 là 12.
Trong các khẳng định trên
A. Chỉ I và III đúng
B. Chỉ II và III đúng
C. Chỉ I và II đúng
D. Cả ba đúng
Lời giải:
Đáp án : A
Câu 4: Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển .
A.37 B.38 C.36 D.39
Lời giải:
Đáp án : B
⇒ k= 8t ( với t nguyên)
Lại có: 0≤k≤300 nên 0≤8t≤300
⇔ 0≤t≤37,5. Mà t nguyên nên t ∈ {0,1,2,3…, 37}.
Có 38 giá trị nguyên của t thỏa mãn. Suy ra có 38 giá trị của k thỏa mãn.
⇒ Có 38 số hạng hữu tỉ trong khai triển đã cho.
Câu 5: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P(x) = ( x+1)6 +(x+ 1)7 + ( x+ 1)8 + ..+ (x+ 1)12 .
A.1711 B.1287 C.1716 D.1715
Lời giải:
Đáp án : D
Câu 6: Tìm hệ số chứa x12 trong khai triển ( 3x+ x2)10
A.145654 B.298645 C.295245 D.Đáp án khác
Lời giải:
Đáp án :
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có số hạng thứ k+ 1 trong khai triển là:
Câu 7: Khai triển đa thức P(x) = (5x – 1)2003 ta được :
P(x)= a2003.x2003 + a2002.x2002 + …+ a1x+ a0.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Lời giải:
Đáp án : C
Câu 8: Tìm hệ số chứa x4 trong khai triển (2x+ 1/2x)10
A.1960 B.1920 C.1864 D.1680
Lời giải:
Đáp án : B
Câu 9: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: ( xy2- 1/xy)8
A.70y4 B.25y4 C.50y5 D.80y4
Lời giải:
Đáp án :
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:
Số hạng không chứa x ứng với: 8 – 2k=0 ⇔ k= 4
⇒ số hạng cần tìm
Câu 10: Tìm số hạng đứng vị trí chính giữa trong khai triển: ( x2+ xy)20
Lời giải:
Đáp án : D
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:
Câu 11: Khai triển đa thức: P(x)= ( 2 x- 1)1000 ta được:
P(x)= a1000x1000 + a999x999+ ….+ a1x+ a0 .Tính a1000 + a999 + …+ a1 + a0 ?
A.-1 B.0 C.2 D.1
Lời giải:
Đáp án : D
Ta có: (x) = a1000x1000 + a999x999+ ….+ a1x+ a0
Cho x = 1 ta được P(1) = a1000 + a999 + a998 + …+ a1+ a0 (1)
Mặt khác: P(x) = ( 2x-1)1000 nên P(1)= (2.1 – 1)1000 = 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a1000 + a999 + a998 + …+ a1+ a0 = 1
Câu 12: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P(x) = x.(2+ x)5 + x2( 1 + x )10
A.110 B.120 C.130 D.140
Lời giải:
Đáp án : C
Câu 13: Số hạng không chứa x trong khai triển (x2 + 1/x – 1)10 là
A.1951 B.1950 C.3150 D.-360
Lời giải:
Đáp án : A
Câu 14: Số hạng chứa x8 trong khai triển (x3 – x2 -1)8 là
A.168×8 B.168 C.238×8 D.238
Lời giải:
Đáp án : D
Câu 15: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P(x)= (1+ x)+ 2(1+x)2 + …+ 8(1+x)8
A.487 B.636 C.742 D.568
Lời giải:
Đáp án : B
Các biểu thức ( 1 + x ) ; 2( 1 + x )2 ; 3(1+x)3 ; 4(1+ x)4 không chứa số hạng chứa x5
Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 5(1+x)5 là
Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 6(1+x)6 là
Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 7(1+x)7 là
Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 8(1+ x)8 là
Vậy hệ số của x5 trong khai triển P(x) là :