Gợi Ý Top 17 k trong toán học là gì [Đánh Giá Cao]

Ví dụ: 1 3 +2 3 + 3 3 +… .. + n 3 = (n (n + 1) / 2) 2 , mệnh đề ở đây được coi là đúng với mọi giá trị của số tự nhiên.

Định hướng Cosines & Tỷ lệ hướng của một đường

Nguyên tắc của Giải pháp Quy nạp Toán học và Chứng minh

Xét một câu lệnh P (n), với n là một số tự nhiên . Sau đó, để xác định tính hợp lệ của P (n) với mọi n, hãy sử dụng nguyên tắc sau:

Bước 1: Kiểm tra xem câu lệnh đã cho có đúng với n = 1 hay không.

Bước 2: Giả sử rằng câu lệnh P (n) đã cho cũng đúng với n = k, với k là bất kỳ số nguyên dương nào.

Bước 3: Chứng minh rằng kết quả P (k + 1) là đúng với mọi số nguyên dương k.

Nếu thỏa mãn các điều kiện nêu trên thì có thể kết luận rằng P (n) đúng với mọi số tự nhiên n.

Bằng chứng:

Bước đầu tiên của nguyên tắc là một tuyên bố thực tế và bước thứ hai là một điều kiện . Theo đó, nếu câu lệnh đã cho chỉ đúng với một số nguyên dương k thì có thể kết luận rằng câu lệnh P (n) hợp lệ với n = k + 1.

Đây còn được gọi là bước quy nạp và giả thiết P (n) đúng với n = k được gọi là giả thiết quy nạp.

Các vấn đề đã được giải quyết

Ví dụ 1: Chứng minh rằng tổng các lập phương của n số tự nhiên bằng (n (n + 1) 2 ) 2 với mọi số tự nhiên n.

Giải pháp :

Trong tuyên bố đã cho, chúng tôi được yêu cầu chứng minh:

1 3 +2 3 +3 3 + ⋯ + n 3 = ( n (n + 1) 2 ) 2

Bước 1: Bây giờ với sự trợ giúp của nguyên lý quy nạp trong toán học, chúng ta hãy kiểm tra tính hợp lệ của câu lệnh P (n) đã cho với n = 1.

P (1) = ( 1 (1 + 1) 2 ) 2 = 1 Điều này đúng.

Bước 2: Bây giờ khi phát biểu đã cho là đúng với n = 1, chúng ta sẽ tiếp tục và thử chứng minh điều này cho n = k, tức là,

1 3 +2 3 +3 3 + ⋯ + k 3 = ( k (k + 1) 2 ) 2 .

Bước 3: Bây giờ chúng ta hãy thử thiết lập P (k + 1) cũng đúng.

1 3 +2 3 +3 3 + ⋯ + k 3 + (k + 1) 3 = ( k (k + 1) 2 ) 2 + (k + 1) 3

⇒ 1 3 +2 3 +3 3 + ⋯ + k 3 + (k + 1) 3 = k 2 (k + 1) 4 + (k + 1) 3

= k 2 (k + 1) 2 +4 ((k + 1) 3 ) 4

= (k + 1) 2 (k 2 +4 (k + 1)) 4

= (k + 1) 2 (k 2 + 4k + 4) 4

= (k + 1) 2 ((k + 2) 2 ) 4

= (k + 1) 2 (k + 1 + 1) 2 ) 4

= (k + 1) 2 ((k + 1) +1) 2 ) 4

Ví dụ 2 : Chứng tỏ rằng 1 + 3 + 5 +… + (2n − 1) = n 2

Giải pháp :

Bước 1: Kết quả đúng với n = 1

Đó là 1 = (1) 2 (Đúng)

Bước 2 : Giả sử rằng kết quả là đúng với n = k

1 + 3 + 5 +… + (2k − 1) = k 2

Bước 3 : Kiểm tra n = k + 1

tức là 1 + 3 + 5 +… + (2 (k + 1) −1) = (k + 1) 2

Chúng ta có thể viết phương trình trên dưới dạng,

1 + 3 + 5 +… + (2k – 1) + (2 (k + 1) −1) = (k + 1) 2

Sử dụng kết quả bước 2, chúng tôi nhận được

k 2 + (2 (k + 1) −1) = (k + 1) 2

k 2 + 2k + 2 −1 = (k + 1) 2

k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2

(k + 1) 2 = (k + 1) 2

LHS và RHS giống nhau.

Vì vậy, kết quả là đúng với n = k + 1

Bằng quy nạp toán học, tuyên bố là đúng.

Chúng ta thấy rằng mệnh đề đã cho cũng đúng với n = k + 1. Do đó, chúng ta có thể nói rằng theo nguyên tắc quy nạp toán học, phát biểu này đúng với mọi số tự nhiên n.

Ví dụ 3:

Chứng tỏ rằng 2 2n -1 chia hết cho 3 bằng cách sử dụng các nguyên tắc quy nạp toán học.

Để chứng minh: 2 2n -1 chia hết cho 3

Giả sử rằng câu lệnh đã cho là P (k)

Do đó, câu lệnh có thể được viết dưới dạng P (k) = 2 2n -1 chia hết cho 3, với mọi số tự nhiên

Bước 1: Trong bước 1, giả sử n = 1, để câu lệnh đã cho có thể được viết dưới dạng

P (1) = 2 2 (1) -1 = 4-1 = 3. Vậy 3 chia hết cho 3. (tức là 3/3 = 1)

Bước 2: Bây giờ, giả sử rằng P (n) đúng với mọi số tự nhiên, giả sử k

Do đó, câu lệnh đã cho có thể được viết dưới dạng

P (k) = 2 2k -1 chia hết cho 3.

Có nghĩa là 2 2k -1 = 3a (trong đó a thuộc số tự nhiên)

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh tuyên bố là đúng với n = k + 1

Vì thế,

P (k + 1) = 2 2 (k + 1) -1

P (k + 1) = 2 2k + 2 -1

P (k + 1) = 2 2k . 2 2 – 1

P (k + 1) = (2 2k . 4) -1

P (k + 1) = 3. 2 k + (2 2k -1)

Biểu thức trên có thể được viết dưới dạng

P (k + 1) = 3,2 2k + 3a

Bây giờ, đưa 3 người ra ngoài, chúng tôi nhận được

P (k + 1) = 3 (2 2k + a) = 3b, trong đó “b” thuộc số tự nhiên

Chứng minh rằng p (k + 1) đúng, bất cứ khi nào mệnh đề P (k) đúng.

Do đó, 2 2n -1 chia hết cho 3 được chứng minh bằng cách sử dụng các nguyên tắc quy nạp toán học

Thực hành các vấn đề

1. Chứng minh rằng 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! +… + N × n! = (n + 1)! – 1 cho tất cả các số tự nhiên sử dụng nguyên tắc quy nạp toán học.
2. Chứng minh rằng 4 n – 1 chia hết cho 3 bằng nguyên tắc quy nạp toán học

Sử dụng các nguyên tắc quy nạp toán học để chứng minh rằng 2 + 4 + 6 +… + 2n = n 2 + n, với mọi số tự nhiên

Top 17 k trong toán học là gì viết bởi Cosy