Trong bài viết này Vted sẽ giới thiệu đến các em một số dạng toán biện luận khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng hay gặp trong các đề thi. Hy vọng bài viết sẽ giúp ích cho các em trong quá trình ôn luyện và tham gia các kì thi sắp tới.
>>Xem thêm Các dạng toán biện luận khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hệ toạ độ Oxyz
>>Xem thêm Các dạng toán biện luận góc trong hệ toạ độ Oxyz
>>Xem thêm phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng
A – Kiến thức cần dùng
+ Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng d:
Giải phương trình $overrightarrow{AH}.overrightarrow{{{u}_{d}}}=0,Hin d$ khi đó độ dài đoạn $AH$ chính là khoảng cách từ A đến d.
+ Hình chiếu vuông góc của điểm A(a;b;c) lên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt là H(a;0;0), K(0;b;0), T(0;0;c)
+ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được tính theo công thức $dleft( A,d right)=dfrac{left| left[ overrightarrow{AM},overrightarrow{{{u}_{d}}} right] right|}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|},Min d$
Chứng minh. Trên $d$ lấy thêm điểm $B$ sao cho $overrightarrow{MB}=overrightarrow{{{u}_{d}}}$
$Rightarrow dleft( A,d right)=AH=dfrac{2{{S}_{ABM}}}{MB}=dfrac{left| left[ overrightarrow{AM},overrightarrow{MB} right] right|}{left| overrightarrow{MB} right|}=dfrac{left| left[ overrightarrow{AM},overrightarrow{{{u}_{d}}} right] right|}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|}$
B – Các dạng toán
Bài toán 1: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khi đường thẳng qua một điểm
Xét đường thẳng $d$ đi qua $MRightarrow d{{left( A,d right)}_{max }}=AMLeftrightarrow dbot AM;d{{left( A,d right)}_{min }}=0Leftrightarrow Ain d$
Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $Aleft( 2;0;1 right),Bleft( 1;1;2 right)$ và mặt phẳng $left( P right):2x+y-2z+2=0.$ Gọi $d$ là đường thẳng qua $B$ song song với $left( P right)$ và cách điểm $A$ một khoảng lớn nhất. Phương trình của $d$ là
A. $left{ begin{gathered} x = 2 + t hfill \ y = 0 hfill \ z = 1 + t hfill \ end{gathered} right..$
B. $left{ begin{gathered} x = 1 + t hfill \ y = 1 hfill \ z = 2 + t hfill \ end{gathered} right..$
C. [left{ begin{gathered} x = 2 + t hfill \ y = 2t hfill \ z = 1 + 2t hfill \ end{gathered} right..]
D. [left{ begin{gathered} x = 1 + t hfill \ y = 1 + 2t hfill \ z = 2 + 2t hfill \ end{gathered} right..]
Giải. Ta có $dleft( A,d right)le AB=sqrt{3}$ đạt tại $dbot ABRightarrow overrightarrow{{{u}_{d}}}bot overrightarrow{AB}left( -1;1;1 right);overrightarrow{{{u}_{d}}}bot overrightarrow{{{n}_{P}}}left( 2;1;-2 right)$
$ Rightarrow overrightarrow {{u_d}} = left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {{n_P}} } right] = left( { – 3;0; – 3} right)||left( {1;0;1} right) Rightarrow d:left{ begin{gathered} x = 1 + t hfill \ y = 1 hfill \ z = 2 + t hfill \ end{gathered} right..$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $Aleft( 1;2;2 right),Bleft( 3;5;8 right).$ Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ cắt trục $Ox$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng $d$ lớn nhất. Phương trình của $d$ là
A. $dfrac{x-1}{5}=dfrac{y-2}{-2}=dfrac{z-2}{-2}.$
B. $dfrac{x-1}{7}=dfrac{y-2}{-2}=dfrac{z-2}{-2}.$
C. $dfrac{x-1}{9}=dfrac{y-2}{-2}=dfrac{z-2}{-2}.$
D. $dfrac{x-1}{11}=dfrac{y-2}{-2}=dfrac{z-2}{-2}.$
Giải. Ta có $dleft( B,d right)le BA=7.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $dbot overrightarrow{AB}left( 2;3;6 right).$
Gọi $Mleft( m;0;0 right)=dcap OxRightarrow overrightarrow{{{u}_{d}}}=overrightarrow{AM}left( m-1;-2;-2 right)bot overrightarrow{AB}left( 2;3;6 right)$
$Leftrightarrow 2left( m-1 right)-6-12=0Leftrightarrow m=10Rightarrow overrightarrow{AM}left( 9;-2;-2 right)Rightarrow d:dfrac{x-1}{9}=dfrac{y-2}{-2}=dfrac{z-2}{-2}.$ Chọn đáp án C.
Cách 2: Gọi $Mleft( m;0;0 right)=dcap OxRightarrow overrightarrow{{{u}_{d}}}=overrightarrow{AM}left( m-1;-2;-2 right);overrightarrow{AB}left( 2;3;6 right)Rightarrow left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AM} right]=left( 6;6m-2;-3m-1 right)$
Khi đó $dleft( B,d right)=dfrac{left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AM} right] right|}{left| overrightarrow{AM} right|}=gleft( m right)=sqrt{dfrac{36+{{left( 6m-2 right)}^{2}}+{{left( 3m+1 right)}^{2}}}{{{left( m-1 right)}^{2}}+4+4}}le underset{mathbb{R}}{mathop{max }},gleft( m right)=gleft( 10 right)=7.$ Ta có cùng kết quả như cách 1.
Bài toán 2: Tổng khoảng cách từ hai điểm đến đường thẳng khi đường thẳng qua một điểm
Xét đường thẳng $d$ qua $MRightarrow left[ alpha dleft( A,d right)+beta dleft( B,d right) right]max Leftrightarrow dbot left( ABM right),left( alpha ,beta >0 right)$
Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $Aleft( 1;2;-1 right),Bleft( 2;3;6 right).$ Xét đường thẳng $d$ qua gốc toạ độ $O$ sao cho tổng khoảng cách từ $A$ và $B$ đến $d$ đạt giá trị lớn nhất. Phương trình của $d$ là
A. $dfrac{x}{15}=dfrac{y}{8}=dfrac{z}{-1}.$
B. $dfrac{x}{15}=dfrac{y}{-8}=dfrac{z}{1}.$
C. $dfrac{x}{15}=dfrac{y}{8}=dfrac{z}{1}.$
D. [dfrac{x}{15}=dfrac{y}{-8}=dfrac{z}{-1}.]
Giải. Ta có $T=dleft( A,d right)+dleft( B,d right)le AO+BO=text{const.}$
Dấu bằng đạt tại $dbot OA;dbot OBRightarrow overrightarrow{{{u}_{d}}}=left[ overrightarrow{OA},overrightarrow{OB} right]=left( 15;-8;-1 right)Rightarrow d:dfrac{x}{15}=dfrac{y}{-8}=dfrac{z}{-1}.$ Chọn đáp án D.
Bài toán 3: Tổng khoảng cách từ ba điểm đến đường thẳng khi đường thẳng qua một điểm
Xét đường thẳng $d$ qua $MRightarrow left[ alpha dleft( A,d right)+beta dleft( B,d right)+gamma dleft( C,d right) right]max Leftrightarrow dbot left( ABC right),left( Min left( ABC right);alpha ,beta ,gamma >0 right)$
Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $Aleft( 1;0;0 right),Bleft( 0;-2;0 right),Cleft( 0;0;3 right).$ Xét đường thẳng $d$ qua điểm $Mleft( 1;2;3 right)$ sao cho tổng khoảng cách từ $A,B$ và $C$ đến $d$ đạt giá trị lớn nhất. Phương trình của $d$ là
A. $dfrac{x-1}{6}=dfrac{y-2}{-3}=dfrac{z-3}{2}.$
B. $dfrac{x-1}{1}=dfrac{y-2}{-2}=dfrac{z-3}{3}.$
C. $dfrac{x-1}{6}=dfrac{y-2}{-2}=dfrac{z-3}{3}.$
D. $dfrac{x-1}{6}=dfrac{y-2}{3}=dfrac{z-3}{2}.$
Giải. Ta có $left( ABC right):dfrac{x}{1}+dfrac{y}{-2}+dfrac{z}{3}=1Rightarrow Mleft( 1;2;3 right)in left( ABC right).$
Khi đó $T=dleft( A,d right)+dleft( B,d right)+dleft( C,d right)le AM+BM+CM=text{const.}$
Dấu bằng đạt tại $dbot AM;dbot BM;dbot CMLeftrightarrow dbot left( ABC right)$
$Rightarrow overrightarrow{{{u}_{d}}}=overrightarrow{{{n}_{left( ABC right)}}}=left( dfrac{1}{1};dfrac{1}{-2};dfrac{1}{3} right)||left( 6;-3;2 right)Rightarrow d:dfrac{x-1}{6}=dfrac{y-2}{-3}=dfrac{z-3}{2}.$ Chọn đáp án A.
Bài toán 4: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khi đường thẳng qua một điểm và nằm trong mặt phẳng
Xét đường thẳng $d$ thay đổi qua điểm $A$ và nằm trong mặt phẳng $left( P right).$ Biện luận khoảng cách từ điểm $B$ đến $d$
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $left( P right),dRightarrow BH=dleft( B,left( P right) right);BK=dleft( B,d right)$
Ta có $BKge BH=dleft( B,left( P right) right)=text{const}Rightarrow text{d}{{left( B,d right)}_{min }}=dleft( B,left( P right) right)Leftrightarrow Kequiv HLeftrightarrow dequiv AH$
Và $BKle BA=text{const}Rightarrow text{d}{{left( B,d right)}_{max }}=BALeftrightarrow Kequiv ALeftrightarrow dbot ABRightarrow overrightarrow{{{u}_{d}}}=left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{{{n}_{P}}} right]$
*Giả thiết nằm trong mặt phẳng thay thế bởi vuông góc với một véctơ, song song với một mặt phẳng, vuông góc với một đường thẳng, cắt một đường thẳng,…
Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $Aleft( 1;2;2 right).$ Gọi $d$ là đường thẳng qua gốc toạ độ $O$ và nằm trong mặt phẳng $left( Oxy right)$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $d$ nhỏ nhất. Phương trình của $d$ là
A. [left{ begin{gathered} x = t hfill \ y = 2t hfill \ z = 0 hfill \ end{gathered} right..]
B. $left{ begin{gathered} x = 2t hfill \ y = t hfill \ z = 0 hfill \ end{gathered} right..$
C. $left{ begin{gathered} x = 2t hfill \ y = – t hfill \ z = 0 hfill \ end{gathered} right..$
D. $left{ begin{gathered} x = – t hfill \ y = 2t hfill \ z = 0 hfill \ end{gathered} right..$
Giải. Gọi $Hleft( 1;2;0 right)=h/cleft( A,left( Oxy right) right);K=h/cleft( A,d right)Rightarrow dleft( A,d right)=AKge AH=2.$
Dấu bằng đạt tại $K equiv H Leftrightarrow d equiv OH Rightarrow d:left{ begin{gathered} x = t hfill \ y = 2t hfill \ z = 0 hfill \ end{gathered} right..$ Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $Aleft( 1;2;2 right).$ Gọi $d$ là đường thẳng qua gốc toạ độ $O$ và nằm trong mặt phẳng $left( Oxy right)$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $d$ lớn nhất. Phương trình của $d$ là
A. [left{ begin{gathered} x = t hfill \ y = 2t hfill \ z = 0 hfill \ end{gathered} right..]
B. $left{ begin{gathered} x = 2t hfill \ y = t hfill \ z = 0 hfill \ end{gathered} right..$
C. $left{ begin{gathered} x = 2t hfill \ y = – t hfill \ z = 0 hfill \ end{gathered} right..$
D. $left{ begin{gathered} x = – t hfill \ y = 2t hfill \ z = 0 hfill \ end{gathered} right..$
Giải. Gọi $Hleft( 1;2;0 right)=h/cleft( A,left( Oxy right) right);K=h/cleft( A,d right)Rightarrow dleft( A,d right)=AKle AO=3.$
Dấu bằng đạt tại $K equiv O Leftrightarrow d bot OA Rightarrow overrightarrow {{u_d}} = left[ {overrightarrow {OA} ,overrightarrow {{n_{left( {Oxy} right)}}} } right] = left( {2; – 1;0} right) Rightarrow d:left{ begin{gathered} x = 2t hfill \ y = – t hfill \ z = 0 hfill \ end{gathered} right..$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Trong không gian [Oxyz,] cho mặt phẳng $left( P right):x-2y+2z-5=0$ và hai điểm $Aleft( -3;0;1 right),Bleft( 1;-1;3 right).$ Đường thẳng qua $A$ song song với mặt phẳng $left( P right)$ cách $B$ một khoảng nhỏ nhất có phương trình là
A. $dfrac{x+3}{24}=dfrac{y}{11}=dfrac{z-1}{-1}.$
B. $dfrac{x+3}{26}=dfrac{y}{11}=dfrac{z-1}{-2}.$
C. $dfrac{x-3}{24}=dfrac{y}{11}=dfrac{z+1}{-1}.$
D. $dfrac{x-3}{26}=dfrac{y}{11}=dfrac{z+1}{-2}.$
Giải. Vì $Aleft( -3;0;1 right)in d;d//left( P right):x-2y+2z-5=0Rightarrow dsubset left( Q right):x-2y+2z+1=0$ là mặt phẳng qua $A$ song song với $left( P right)$
Gọi $Hleft( -dfrac{1}{9};dfrac{11}{9};dfrac{7}{9} right)=mathbf{h/c}left( mathbf{B,}left( mathbf{Q} right) right);K=mathbf{h/c}left( mathbf{B,d} right)Rightarrow BK=dleft( B,d right)ge BH=mathbf{const}.$
Dấu bằng xảy ra khi $Kequiv HRightarrow dequiv AHRightarrow overrightarrow{{{u}_{d}}}=overrightarrow{AH}left( dfrac{26}{9};dfrac{11}{9};-dfrac{2}{9} right)//left( 26;11;-2 right)Rightarrow d:dfrac{x+3}{26}=dfrac{y}{11}=dfrac{z-1}{-2}.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 4: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $Aleft( 1;2;2 right),Bleft( 3;5;8 right).$ Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ cắt trục $Ox$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng $d$ nhỏ nhất. Phương trình của $d$ là
A. $dfrac{x-1}{4}=dfrac{y-2}{9}=dfrac{z-2}{9}.$
B. $dfrac{x-1}{17}=dfrac{y-2}{-18}=dfrac{z-2}{-18}.$
C. $dfrac{x-1}{9}=dfrac{y-2}{-2}=dfrac{z-2}{-2}.$
D. $dfrac{x-1}{4}=dfrac{y-2}{-9}=dfrac{z-2}{-9}.$
Giải. Vì $d$ là đường thẳng đi qua $A$ cắt trục $Ox$ nên $d$ nằm trong mặt phẳng $left( P right)$ chứa trục $Ox$ và $A$
Ta có $Oin Ox,overrightarrow{OA}left( 1;2;2 right),overrightarrow{{{u}_{Ox}}}=overrightarrow{i}left( 1;0;0 right)Rightarrow overrightarrow{{{n}_{P}}}=left[ overrightarrow{OA},overrightarrow{i} right]=left( 0;2;-2 right)Rightarrow left( P right):y-z=0$
Gọi $Hleft( 3;dfrac{13}{2};dfrac{13}{2} right)=h/cleft( B,left( P right) right);K=h/cleft( B,d right)Rightarrow dleft( B,d right)=BKge BH=dleft( B,left( P right) right)=dfrac{3}{sqrt{2}}.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $Kequiv HLeftrightarrow dequiv AHRightarrow overrightarrow{{{u}_{d}}}=overrightarrow{AH}left( 2;dfrac{9}{2};dfrac{9}{2} right)||left( 4;9;9 right)Rightarrow d:dfrac{x-1}{4}=dfrac{y-2}{9}=dfrac{z-2}{9}.$ Chọn đáp án A.
Cách 2: Gọi $Mleft( m;0;0 right)=dcap OxRightarrow overrightarrow{{{u}_{d}}}=overrightarrow{AM}left( m-1;-2;-2 right);overrightarrow{AB}left( 2;3;6 right)Rightarrow left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AM} right]=left( 6;6m-2;-3m-1 right)$
Khi đó $dleft( B,d right)=dfrac{left| left[ overrightarrow{AB},overrightarrow{AM} right] right|}{left| overrightarrow{AM} right|}=gleft( m right)=sqrt{dfrac{36+{{left( 6m-2 right)}^{2}}+{{left( 3m+1 right)}^{2}}}{{{left( m-1 right)}^{2}}+4+4}}ge underset{mathbb{R}}{mathop{min }},gleft( m right)=gleft( dfrac{1}{9} right)=dfrac{3}{sqrt{2}}.$ Ta có cùng kết quả như cách 1.
Ví dụ 5: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $Aleft( 0;1;2 right)$ và đường thẳng $d:dfrac{x-4}{2}=dfrac{y-2}{-1}=dfrac{z-1}{-2}$. Gọi $left( P right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và cách $A$ một khoảng lớn nhất. Khoảng cách từ điểm $Mleft( 5;-1;3 right)$ đến $left( P right)$ bằng
A. $dfrac{2}{3}$. B. $dfrac{7}{3}$. C. $dfrac{1}{3}$. D. 1 .
Giải. Gọi [Hleft( 2t+4;-t+2;-2t+1 right)in d=h/cleft( A,d right)] [Leftrightarrow overrightarrow{AH}left( 2t+4;-t+1;-2t-1 right)bot overrightarrow{{{u}_{d}}}left( 2;-1;-2 right)] [Leftrightarrow 2left( 2t+4 right)-left( -t+1 right)-2left( -2t-1 right)=0Leftrightarrow t=-1Rightarrow overrightarrow{AH}left( 2;2;1 right)]
Ta có $dleft( A,left( P right) right)le AH=text{const}.$ Dấu bằng xảy ra khi $left( P right)bot AH$
[Rightarrow left( P right):2x+2y+z-13=0Rightarrow dleft( M,left( P right) right)=dfrac{left| 10-2+3-13 right|}{sqrt{4+4+1}}=dfrac{2}{3}.] Chọn đáp án A.Bài toán 5: Đường thẳng song song và cách đường thẳng cố định một khoảng cho trước (đường sinh của mặt trụ)
Khoảng cách từ điểm đến đường sinh của trụ
Xét đường thẳng $d$ song song và cách đường thẳng $Delta $ một khoảng bằng $a.$ Biện luận khoảng cách từ $A$ đến $d$
Ta có $d||Delta ,dleft( d,Delta right)=aRightarrow d$ là đường sinh của mặt trụ có trục $Delta $ bán kính $a$
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d,Delta $ và $T$ là hình chiếu vuông góc của $K$ lên $d$
Ta có $AH=dleft( A,d right);AK=dleft( A,Delta right);KT=dleft( d,Delta right)=a$
Giá trị lớn nhất:
Ta có $AHle ATle AK+KT=dleft( A,Delta right)+aRightarrow d{{left( A,d right)}_{max }}=a+dleft( A,Delta right)Leftrightarrow A,K,Hequiv T$ thẳng hàng theo thứ tự tức $overrightarrow{AH}=dfrac{AH}{AK}overrightarrow{AK}=dfrac{dleft( A,Delta right)+a}{dleft( A,Delta right)}overrightarrow{AK}$
Giá trị nhỏ nhất:
+ Nếu $age dleft( A,Delta right)Rightarrow AHge HK-AKge KT-AK=a-dleft( A,Delta right)$
+ Nếu $a<dleft( A,Delta right)Rightarrow AHge ATge AK-KT=dleft( A,Delta right)-a$
Vậy $d{{left( A,d right)}_{min }}=left| a-dleft( A,Delta right) right|$
*Ghi nhớ: $dleft( A,d right)$ lớn nhất hay nhỏ nhất xảy ra khi $A,d,Delta $ đồng phẳng.
Bài toán 6: Đường thẳng qua một điểm nằm trong mặt phẳng. Biện luận khoảng cách từ đường thẳng đó đến đường thẳng khác
Xét đường thẳng $dsubset left( P right)$ và qua điểm $A.$ Biện luận khoảng cách giữa hai đường thẳng $d,Delta $
Gọi [H=h/cleft( A,Delta right)Rightarrow dleft( d,Delta right)le AH=dleft( A,Delta right)=mathbf{const}] [Rightarrow d{{left( d,Delta right)}_{max }}=dleft( A,Delta right)Leftrightarrow dbot AHRightarrow overrightarrow{{{u}_{d}}}=left[ overrightarrow{AH},overrightarrow{{{n}_{P}}} right].]
+ Nếu $Delta //left( P right)Rightarrow dleft( d,Delta right)=dleft( Delta ,left( P right) right)=mathbf{const}$
+ Nếu $Delta cap left( P right)=IRightarrow d{{left( d,Delta right)}_{min }}=0Leftrightarrow dequiv AI$
Bài toán 7: Đường thẳng song song và cách mặt phẳng một khoảng cho trước. Biện luận khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Bài toán 8: Đường thẳng tạo với một đường thẳng một góc cho trước (đường sinh của mặt nón)
Bài toán 9: Tổng khoảng cách từ một điểm đến hai đường thẳng
Bài toán 10: Tổng khoảng cách từ hai điểm đến đường thẳng
Hướng dẫn sử dụng MTCT Casio Fx 580 trong Oxyz
>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết
